【2020蓝桥杯省赛】【动态规划】数字三角形（超详解！）

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输出描述

测试样例

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提交结果截图

详细分析

        法1（画图）：​

        法2（代码）：

带详细注释的源代码

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题目

 

 上图给出了一个数字三角形。从三角形的顶部到底部有很多条不同的路径。对于每条路径，把路径上面的数加起来可以得到一个和，你的任务就是找到最大的和。

路径上的每一步只能从一个数走到下一层和它最近的左边的那个数或者右 边的那个数。此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1。

题目链接

数字三角形 - 蓝桥云课 (lanqiao.cn)https://www.lanqiao.cn/problems/505/learning/

输入描述

输入的第一行包含一个整数 N\ (1 \leq N \leq 100)N (1≤N≤100)，表示三角形的行数。

下面的 NN 行给出数字三角形。数字三角形上的数都是 0 至 100 之间的整数。 

输出描述

输出一个整数，表示答案。

测试样例

输入样例

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例

27

提交结果截图

 

详细分析

开始的时候，我没注意到题目写的“此外，向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1”，直接就写了数字三角形动态规划的代码，但是样例输入后，结果是30，这才发现不对。

不过我想，这题肯定还是得用动态规划来解的，所以肯定是有规律的！下面是解题过程：

1.【理解题意】“向左下走的次数与向右下走的次数相差不能超过 1”这并不是指途中的点都要满足这个要求，而是指终点（最后一行的点）要满足这个要求。（哭了，我试错过）

2.【找规律】我们要找到每一行满足这个要求的点的位置。这个我们可以画画图，当然也可以写写代码来找。

        法1（画图）：

         法2（代码）：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n;
vector< vector >flag(101);

void dfs(int i, int j, int time)//向左，time-1;向右，time+1
{
	if (flag[i][j])//若当前点已递归过，则直接返回（降低时间复杂度）
		return;
	flag[i][j] = true;//当前点满足
	if (time == -1 && i + 1 < n)//必须向右
		dfs(i + 1, j + 1, 0);//向右下方点递归
	else if (time == 1 && i + 1 < n)//必须向左
		dfs(i + 1, j, 0);//向左下方点递归
	else if (!time && i + 1 < n)//可向左也可向右
	{
		dfs(i + 1, j + 1, 1);
		dfs(i + 1, j, -1);
	}
	else//其他情况则返回
		return;
}

int main()
{
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < i + 1; j++)
			flag[i].push_back(false);//初始化为false

	dfs(0, 0, 0);//从第一个点往下递归
    //输出结果
	for (int i = 0; i < n; i++)
	{
		for (int j = 0; j < i + 1; j++)
			if (flag[i][j])
				cout << "1 ";
			else
				cout << "0 ";
		cout << endl;
	}
	cout << endl << endl;
	return 0;
}

运行结果（n = 11时）： 

 因为这个要求是用于最后一行，所以规律是：

1. 当n为奇数时，只有最后一行（奇数个数）的最中间一个数可以作为终点；
2. 当n为偶数时，只有最后一行（偶数个数）的最中间两个数可以作为终点；

3.【使用标志数组】标志数组与存储数据的数组的元素一一对应即可，全部初值赋为false。根据找到的规律，给最后一行可作为终点的数的标志设为true.（true->从起点往下可到达的点，false->从起点往下不可到达的点）

4.【动态规划】从下往上推！

最后一行单独处理，最后一行除了可以作为终点的数（flag[n-1][j] = true），其余数都设为0.

从倒数第二行起按从下往上、从左往右的顺序遍历，然后

1. 如果某位置其左下方和右下方的位置flag都为false，则说明该点无法往下遍历（反推），则设为0.（设为0可以节省很多操作）
2. 如果某位置其左下方或右下方的位置的flag = true，则取两者最大值加上自身。（因为如果flag = false，该数赋值为0了，所以不用管哪一个是true），并且把自身位置设为true.

5.【得出结果】动态规划结束后，第一行第一个元素其实就是所要求的最大值了。将第一行第一个元素输出即可！

带详细注释的源代码

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

int n, tmp;
vector< vector >num(101);
vector< vector >flag(101);

int main()
{
	// 请在此输入您的代码
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < i + 1; j++)
		{
			cin >> tmp;
			num[i].push_back(tmp);
			flag[i].push_back(false);
		}

	if (n % 2)	//n为奇数，则最后一行有奇数个数，最中间的数可作为终点
		flag[n - 1][(n - 1) / 2] = true;
	else		//i为偶数，则最后一行有偶数个数，最中间两个数可作为终点
	{
		flag[n - 1][n / 2] = true;
		flag[n - 1][n / 2 - 1] = true;
	}
	for (int j = 0; j < n; j++)//最后一行其余的数设为0
		if (!flag[n - 1][j])
			num[n - 1][j] = 0;

	for (int i = n - 2; i >= 0; i--)//从倒数第二行往上遍历
	{
		for (int j = 0; j <= i; j++)//从左往右遍历
		{
			if (!flag[i + 1][j] && !flag[i + 1][j + 1])//该点不能到达
				num[i][j] = 0;//设为0，方便计算
			else										//该点能到达
			{
				num[i][j] += max(num[i + 1][j], num[i + 1][j + 1]);//取两者最大即可
				flag[i][j] = true;//标记该点能到达
			}
		}
	}
	cout << num[0][0] << endl;//输出结果
	return 0;
}