模式匹配：滚动哈希到 Rabin-Karp 算法

 

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暴力匹配

字符串匹配问题，从源字符串 s 中寻找目标子串 t。

• 源字符串 s ：1234
• 目标子串 t ：3
• 返回结果 ：找到返回下标，否则返回 -1

实现一个算法，第一步是实现函数原型（函数名、输入输出、面向对象/过程）、边界判断、循环不变量、有限步骤、错误处理的编写。

函数原型：

int bruteforce(char *s, char *t){
     
	if(strlen(s) < strlen(t))      // s 长，t 短
		return -1;
}

算法逻辑中，最重要的是找到循环不变量：

int len_s = strlen(s);
for(int i=0; i<len_s; i++)           // 在 s 中寻找 t

但其实这里还做了无用功，如果当前起始位置 i 开始，后面的字符的个数已经比 t 的个数还要少了，长度不一样，根本不可能匹配到了。

如果上图，若 s[i, i + len_t - 1] == t 说明长度符合，否则不能匹配了。

int len_s = strlen(s);
int len_t = strlen(t);
for(int i=0; i + len_t <= len_s; i++)           // s[i, i + len_t - 1] == t，更新循环不变量范围，缩减不必要的部分

完整代码：

// 在 s 中寻找 t，找到返回下标，否则返回 -1
int bruteforce(char *s, char *t){
     
	if(strlen(s) < strlen(t))      // s 长，t 短
		return -1;

	int len_s = strlen(s);
	int len_t = strlen(t);
	for(int i=0; i + len_t <= len_s; i++)  {
         // s[i, i + len_t - 1] == t ？  
		int j = 0;    
		for( ;j<len_t; j++)
			if(s[i+j] != t[j])    
				break;
	
	if(j == len_t)
		return i;
	}
	return -1;
}

 

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哈希思想

哈希是一种思想，看到字符串时，就可以想哈希。

暴力匹配，每次匹配失败，会重新扫描一遍 t：

• 比较俩个字符串相等，要 $O(n)$
• 比较俩个整型相等，要 $O(1)$。

通过哈希，把字符串转整型，只需要把字符串看成一个 B 进制的数字：

• $hash(code)=(c\ast B^3+o\ast B^2+d\ast B^1+e\ast B^0)\%M$

如果只有小写字母，也就是 a-z（26 个字母），那 B 就是 26 进制，如果是任意字符，那 B 就是 256 进制。

不过因为整型存储有限，计算过程中要防止溢出：

• $hash(code)=(((c\ast B+o)\%M\ast B+d)\%M\ast B+e)\%M$

string s = "abcdefg";
int hash = 0;
int B = 256;
long MOD = (long)(1e9 + 7);             // 素数，防止溢出
for(int i=0; i<len; i++)
	hash = (hash * B + s[i]) % MOD

 

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滚动哈希

滚动哈希 = 哈希思想 + 滑动窗口。

哈希思想是把字符串转整型：

• 把字符串看成一个 B 进制的数字：$hash(code)=(((c\ast B+o)\%M\ast B+d)\%M\ast B+e)\%M$

而滑动窗口是把目标子串 t 当作一个长度为 t 的窗口，在源字符串 s 上滚动，如果相等就说明找到了。

我们发现如果把源目标串 s 当成 N 个子串，那第一个子串、第二个子串之间，相同的字符有 9 个，只有 1 个字符有区别。如下图的对比：

那字符串匹配问题，就是 t 在 s 上不断滚动匹配，我们只需要保持一个长度为 t.length() 的窗口即可。

滚动过程：第 1 个字符删除，再最后位置添加 1 个字符。

那这个过程怎么写成计算公式？

• 添加字符：$hash=hash\ast 10+map[s[i]]$
• 删除字符：$hash=hash-map[s[i-9]]\ast 10^9$

如 s[i] = 2：

• 添加字符：$123412341\ast 10+2=1234123412$
• 删除字符：$1234123412-1000000000=234123412$

整个过程以此类推，这种方式叫滚动哈希。
 

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Rabin-Karp 算法

使用滚动哈希求解字符串匹配问题，对应的这个思路的算法，就叫 Rabin-Karp 算法。

class Solution {
     
public:
    vector<string> Rabin-Karp(string s, string t) {
     
		if(s.length() < 0)	return s;

		long thash = 0, MOD = (long)1e9 + 7, B = 256;
		for(int i=0; i<t.length(); i++)
			thash = (thash * B + s[i]) % MOD;
		
		long hash = 0, P = 1;
		for(int i=0; i<t.length()-1; i++)
			P = P * B % MOD;

		for(int i=0; i<t.length()-1; i++)
			hash = (hash * B + s[i]) % MOD;
		
		for(int i=t.length()-1; i<s.length(); i++) {
     
			hash = (hash * B + s[i]) % MOD;
			if( hash == thash && equals(s, i-t.length()+1, t) )	
				return i - t.length() + 1;
			hash = (hash - s[i - t.length() + 1] * P % MOD + MOD) % MOD;
		}
		return -1;
	}

	bool equals(string s, int l, string t) {
     
		for(int i=0; i<t.length(); i++)
			if(t[i] != s[i+l]) return false;
				return true;
	}
};

 

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1147.段式回文

滚动哈希分析链接：[1147].段式回文
 

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1392.最长快乐前缀

滚动哈希分析链接：[1392].最长快乐前缀
 

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187.重复的 DNA 序列

滚动哈希分析链接：[187].重复的 DNA 序列