Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归

Artificial Intelligence

文章目录

  • Artificial Intelligence
    • 梯度下降法
      • 基本概念
      • 公式推导
      • 基本梯度下降步骤
      • 批量梯度下降(BGD)
      • 随机梯度下降(SGD)
      • 小批量梯度下降(MBGD)
    • 线性回归
      • 一元线性回归概念
      • 原理引入
    • 作业
      • 实例一:单变量线性回归问题

梯度下降法

参考链接

基本概念

梯度下降法(gradient descent),又名最速下降法(steepest descent)是求解无约束最优化问题最常用的方法,它是一种迭代方法,每一步主要的操作是求解目标函数的梯度向量,将当前位置的负梯度方向作为搜索方向(因为在该方向上目标函数下降最快,这也是最速下降法名称的由来)。

梯度下降,其实就是一个公式:在这里插入图片描述

公式推导

Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第1张图片

基本梯度下降步骤

步骤Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第2张图片

η为学习率,ε为收敛条件。梯度下降法属于机器学习,本质为:不断迭代判断是否满足条件,会用到循环语句。

Created with Raphaël 2.2.0 首先设定一个较小的正数m,n; 求当前位置处的各个偏导数; 修改当前函数的参数值; 参数变化量小于n 求得极小值 结束框 回退迭代 yes no

Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第3张图片
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第4张图片

批量梯度下降(BGD)

Batch gradient descent::批量梯度下降算法(BGD),其需要计算整个训练集的梯度,即:

bgd.png

其中η为学习率,用来控制更新的“力度”/“步长”。

  • 优点:

对于凸目标函数,可以保证全局最优; 对于非凸目标函数,可以保证一个局部最优。

  • 缺点:

速度慢; 数据量大时不可行; 无法在线优化(即无法处理动态产生的新样本)。

代码实现

#引库
#引入matplotlib库,用于画图
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pow
#图片嵌入jupyter
#matplotlib inline

#为了便于取用数据,我们将数据分为x,y,在直角坐标系中(x,y)是点
x = [1,2,3,4,5,6]
y = [13,14,20,21,25,30]
print("打印初始数据图...")
plt.scatter(x,y)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.show()

#超参数设定
alpha = 0.01#学习率/步长
theta0 = 0#θ0
theta1 = 0#θ1
epsilon = 0.001#误差
m = len(x)

count = 0
loss = []

for time in range(1000):
    count += 1
    #求偏导theta0和theta1的结果
    temp0 = 0#J(θ)对θ0求导的结果
    temp1 = 0#J(θ)对θ1求导的结果
    diss = 0
    for i in range(m):
        temp0 += (theta0+theta1*x[i]-y[i])/m
        temp1 += ((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #更新theta0和theta1
    for i in range(m):
        theta0 = theta0 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m) 
        theta1 = theta1 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #求损失函数J(θ)
    for i in range(m):
        diss = diss + 0.5*(1/m)*pow((theta0+theta1*x[i]-y[i]),2)
    loss.append(diss)

    #看是否满足条件
    '''
    if diss<=epsilon:
        break
    else:
        continue
    '''
print("最终的结果为:")
print("此次迭代次数为:{}次,最终theta0的结果为:{},最终theta1的结果为:{}".format(count,theta0,theta1))
print("预测的最终回归函数为:y={}+{}x\n".format(theta0,theta1))
print("迭代图像绘制...")
plt.scatter(range(count),loss)
plt.show()

运行结果
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第5张图片

随机梯度下降(SGD)

Stochastic gradient descent:随机梯度下降算法(SGD),仅计算某个样本的梯度,即针对某一个训练样本 xi及其label yi更新参数:

sgd.png

逐步减小学习率,SGD表现得同BGD很相似,最后都可以有不错的收敛。

  • 优点:

更新频次快,优化速度更快; 可以在线优化(可以无法处理动态产生的新样本);一定的随机性导致有几率跳出局部最优(随机性来自于用一个样本的梯度去代替整体样本的梯度)。

  • 缺点:

随机性可能导致收敛复杂化,即使到达最优点仍然会进行过度优化,因此SGD得优化过程相比BGD充满动荡。

代码实现

#引库
#引入matplotlib库,用于画图
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pow
import numpy as np
#图片嵌入jupyter
#matplotlib inline

#为了便于取用数据,我们将数据分为x,y,在直角坐标系中(x,y)是点
x = [1,2,3,4,5,6]
y = [13,14,20,21,25,30]
print("打印初始数据图...")
plt.scatter(x,y)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.show()

#超参数设定
alpha = 0.01#学习率/步长
theta0 = 0#θ0
theta1 = 0#θ1
epsilon = 0.001#误差
m = len(x)

count = 0
loss = []

for time in range(1000):
    count += 1
    diss = 0
    #求偏导theta0和theta1的结果
    temp0 = 0#J(θ)对θ0求导的结果
    temp1 = 0#J(θ)对θ1求导的结果
    for i in range(m):
        temp0 += (theta0+theta1*x[i]-y[i])/m
        temp1 += ((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #更新theta0和theta1
    for i in range(m):
        theta0 = theta0 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m) 
        theta1 = theta1 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #求损失函数J(θ)
    rand_i = np.random.randint(0,m)
    diss += 0.5*(1/m)*pow((theta0+theta1*x[rand_i]-y[rand_i]),2)
    loss.append(diss)

    #看是否满足条件
    '''
    if diss<=epsilon:
        break
    else:
        continue
    '''
print("最终的结果为:")
print("此次迭代次数为:{}次,最终theta0的结果为:{},最终theta1的结果为:{}".format(count,theta0,theta1))
print("预测的最终回归函数为:y={}+{}x\n".format(theta0,theta1))
print("迭代图像绘制...")
plt.scatter(range(count),loss)
plt.show()

运行结果
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第6张图片

小批量梯度下降(MBGD)

Mini-batch gradient descent:小批量梯度下降算法(MBGD),计算包含n个样本的mini-batch的梯度

mbgd.png

MBGD是训练神经网络最常用的优化方法。

  • 优点:

参数更新时的动荡变小,收敛过程更稳定,降低收敛难度;可以利用现有的线性代数库高效的计算多个样本的梯度。

代码实现

#引库
#引入matplotlib库,用于画图
import matplotlib.pyplot as plt
from math import pow
import numpy as np
#图片嵌入jupyter
#matplotlib inline

#为了便于取用数据,我们将数据分为x,y,在直角坐标系中(x,y)是点
x = [1,2,3,4,5,6]
y = [13,14,20,21,25,30]
print("打印初始数据图...")
plt.scatter(x,y)
plt.xlabel("X")
plt.ylabel("Y")
plt.show()

#超参数设定
alpha = 0.01#学习率/步长
theta0 = 0#θ0
theta1 = 0#θ1
epsilon = 0.001#误差
diss = 0#损失函数
m = len(x)

count = 0
loss = []

for time in range(1000):
    count += 1
    diss = 0
    #求偏导theta0和theta1的结果
    temp0 = 0#J(θ)对θ0求导的结果
    temp1 = 0#J(θ)对θ1求导的结果
    for i in range(m):
        temp0 += (theta0+theta1*x[i]-y[i])/m
        temp1 += ((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #更新theta0和theta1
    for i in range(m):
        theta0 = theta0 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m) 
        theta1 = theta1 - alpha*((theta0+theta1*x[i]-y[i])/m)*x[i]

    #求损失函数J(θ)
    result = []
    for i in range(3):
        rand_i = np.random.randint(0,m)
        result.append(rand_i)
    for j in result:
        diss += 0.5*(1/m)*pow((theta0+theta1*x[j]-y[j]),2)
    loss.append(diss)

    #看是否满足条件
    '''
    if diss<=epsilon:
        break
    else:
        continue
    '''
print("最终的结果为:")
print("此次迭代次数为:{}次,最终theta0的结果为:{},最终theta1的结果为:{}".format(count,theta0,theta1))
print("预测的最终回归函数为:y={}+{}x\n".format(theta0,theta1))
print("迭代图像绘制...")
plt.scatter(range(count),loss)
plt.show()

运行结果
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第7张图片

线性回归

参考链接1

参考链接2

一元线性回归概念

一元线性回归其实就是从一堆训练集中去算出一条直线,使数据集到直线之间的距离差最小。

最简单的模型如图所示:在这里插入图片描述

下列2个模型都是线性回归模型,即便右图中的线看起来并不像直线。
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第8张图片

原理引入

唯一特征X,共有m = 500个数据数量,Y是实际结果,要从中找到一条直线,使数据集到直线之间的距离差最小,如下图所示:
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第9张图片
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第10张图片

作业

实例一:单变量线性回归问题

房屋价格与面积(数据在下面表格中)

序号 面积 价格
1 150 6450
2 200 7450
3 250 8450
4 300 9450
5 350 11450
6 400 15450
7 600 18450

使用梯度下降求解线性回归在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
要求:

(1)对关键代码进行注释;

(2)把每次迭代计算出来的theta0 ,theta1 画出来;

(3)分别用随机梯度和批量梯度实现,并在同一个图形中进行对比(颜色不同)。

代码实现

#引入matplotlib库,用于画图
import matplotlib.pyplot as plt
import random
import matplotlib
#建立直角坐标系(x,y)
x = [150,200,250,300,350,400,600]
y = [6450,7450,8450,9450,11450,15450,18450]
#步长
alpha = 0.00001
#计算样本个数,即m=7
m = len(x)
#初始化参数的值,拟合函数为 y=theta0+theta1*x,p为批量,s为随机
ptheta0 = 0
ptheta1 = 0
stheta1=0
stheta0=0
#误差
error0=0
error1=0
#退出迭代的两次误差差值的阈值
epsilon=0.000001
#批量梯度下降BGD
def p(x):
    return ptheta1*x+ptheta0
#随机梯度下降SGD
def s(x):
    return stheta1*x+stheta0
#开始迭代批量梯度
presult0 = []
presult1 = []
while True:
    diff = [0,0]
    # 梯度下降
    for i in range(m):
        diff[0] += p(x[i]) - y[i]  # 对theta0求导
        diff[1] += (p(x[i]) - y[i]) * x[i]  # 对theta1求导
    ptheta0 = ptheta0 - alpha / m * diff[0]
    ptheta1 = ptheta1 - alpha / m * diff[1]
    presult0.append(ptheta0)
    presult1.append(ptheta1)
    error1 = 0
    # 计算两次迭代的误差的差值,小于阈值则退出迭代,输出拟合结果
    for i in range(len(x)):
        error1 += (y[i] - (ptheta0 + ptheta1 * x[i])) ** 2 / 2
    if abs(error1 - error0) < epsilon:
        break
    else:
        error0 = error1

#开始迭代随机梯度
sresult0 = []
sresult1 = []
for j in range(5000):
    diff = [0, 0]
    # 梯度下降
    i = random.randint(0, m - 1)
    diff[0] += s(x[i]) - y[i]  # 对theta0求导
    diff[1] += (s(x[i]) - y[i]) * x[i]  # 对theta1求导
    stheta0 = stheta0 - alpha / m * diff[0]
    stheta1 = stheta1 - alpha / m * diff[1]
    sresult0.append(stheta0)
    sresult1.append(stheta1)
    error1 = 0
    # 计算两次迭代的误差的差值,小于阈值则退出迭代,输出拟合结果
    for k in range(len(x)):
        error1 += (y[i] - (stheta0 + stheta1 * x[i])) ** 2 / 2
    if abs(error1 - error0) < epsilon:
        break
    else:
        error0 = error1
#结果
print(ptheta1,ptheta0)
print(stheta1,stheta0)
#画图
a=len(presult0)
C=len(presult1)
b=range(a)
c=range(C)
plt.plot(b,presult0)
plt.xlabel("Runs")
plt.ylabel("theta0")
plt.show()
plt.plot(c,presult1)
plt.xlabel("Runs")
plt.ylabel("theta1")
plt.show()
a1=len(sresult0)
C1=len(sresult1)
b1=range(a1)
c1=range(C1)
plt.plot(b1,sresult0)
plt.xlabel("Runs")
plt.ylabel("theta0")
plt.show()
plt.plot(c1,sresult1)
plt.xlabel("运行次数")
plt.ylabel("theta1")
plt.show()
matplotlib.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.plot(x,[p(x) for x in x],label='批量梯度')
plt.plot(x,[s(x) for x in x],label='随机梯度')
plt.plot(x,y,'bo',label='数据')
plt.legend()
plt.show()

运行结果

(1)批量梯度:

theta1=28.778604659732547
theta0=1771.0428917695647
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第11张图片
theta0随运行次数的变化见上图
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第12张图片
theta1随运行次数的变化见上图

(2)批量梯度:

theta1=33.71739545116426
theta0=2.0564426533254134
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第13张图片
theta0随运行次数的变化见上图
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第14张图片
theta1随运行次数的变化见上图
Artificial Intelligence-梯度下降法与线性回归_第15张图片
结果对比见上图

总结

​ 我想,大部分人刚接触到这块知识,都是觉得好难,头秃@~~@。其实学后在回头想想,还行吧,这一章节主要是理解梯度下降的本质、公式的推导、批量梯度下降和随机梯度下降。(小批量梯度下降不太常用)

​ 代码的话(以房屋价格与面积的问题为例),其实就是两种梯度下降的合成,代码中除BGD和SGD的关键代码不同,其余的还是很相似的。还有一点就是,matplotlib库函数的一些操作,如果不会这个,那就没办法画图像了。

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