数据结构之图论算法（四）—— 拓扑算法

一、有向无环图（DAG图）：无环的有向图

应用示例1：

• 描述含公共子式的表达式的工具——实现对相同子式的共享，从而节省存储空间；
  

应用示例2：

• 描述工程项目或系统过程的工具
• 工程可分为若干个成为活动的子工程；
• 子工程间存在一定约束，如某些子工程的开始必须在另一些子工程完成之后
• 主要关心的问题
• 1.工程是否能顺利进行；
• 2.整个工程完成所必须的最短时间。

二、AOV网和拓扑排序

AOV网：

结点为活动，弧的指向表示活动执行的次序

AOE网：

结点为事件，弧表示活动，权表示活动持续时间

1. AOV网：

代表的一项工程中活动的集合，是个偏序集合

• 偏序： 若集合X上的关系R是传递的、自反的、反对称的，则称R是集合X上的偏序关系
• 全序：若关系R是集合X上的偏序关系，如果对于每个x，y∈X，必有x R y 或 y R x，则称R是集合X上的全序关系

2. 拓扑排序（Topological Sort）：

由某个集合上的一个偏序得到该集合上的一个全序

AOV网表示流程：

• 流程图——表示偏序的有向图：
• 用 ai–>aj表示（ai，aj）∈R，i < j;
• 为了表示方便，令ai为前驱，二aj为后继，表明两者之间的次序关系（领先/优先关系）
• 用途：描述工程项目或系统进行的次序

用AOV网进行拓扑排序：

方法1：

（1）在有向图中选取一个没有前驱的顶点输出之；
（2）从图中山区该顶点和所有以它为尾的弧。
重复（1）、（2）直至全部顶点都已输出，或者当前图中不存在无前驱的顶点为止，或一种情况说明图中存在环。

• 不存在环时：

• 存在环时：
  最后还会留下边！！

方法2:

当有向图中无环时，可利用深度优先遍历进行拓扑排序，即顶点退出DFS函数的先后次序的逆序

拓扑排序的算法思想：

【数组表示法】：

1. 找到全为0的第j列，输出j；
2. 将第j行的全部元素置为0；
   ···
   反复执行1、2直至所有元素输出完毕。
   

时间复杂度：O（n³）

由上述的数组表示法可知，只要创建一个数组来表示每个结点的入度为多少即可。

若某一个点入度为0，那么就可以输出该点，同时将该点相连的各个点的入度-1，然后再在该数组中寻找下一个入度为0的点。

整理一下思路：（对于邻接矩阵）

所以拓扑序列为：1，3，2，6，5，4，7

算法实现：（前期准备部分，包括图的定义和栈的定义以及相关调用函数）

#include 
#include 
#include 

#define MAX_VERTEX_NUM 20
typedef int InfoType
//边的定义
typedef struct ArcNode{
     
	int adjvex;	//表示该边指向的顶点的位置
	InfoType *info;	//和边相关的信息
	struct ArcNode *nextarc;	//指向下一条边
}ArcNode;
//顶点的定义
typedef int VertexType; 

typedef struct VNode{
     
	VertexType data;	//顶点信息
	ArcNode *firstarc;	//指向第一条依附该顶点的边的指针，所以指针类型应为边的类型
}VNode,AdjList[MAX_VERTEX_NUM];	//AdjList表示邻接表类型
//图的定义
typedef struct{
     
	AdjList vertices;	//vertices是vertex的复数
	int vexnum, arcnum;	//图的当前顶点数和边数
}ALGraph;
//栈的定义
typedef struct{
     
	int *base, *top;
	int stacksize;
}Stack;

typedef enum{
     ERROR, OK, TRUE, FALSE} Status;
//初始化栈
Status InitStack(Stack &S, int vexnum){
     
	S.base = (int *)malloc((vexnum+1) * sizeof(int));
	if(!S.base)	exit(-1);
	S.top = S.base;
	S.stacksize = vexnum;
	return OK;
}

//进栈：
Status Push(Stack &S, int elmt){
     
	if(S.top-S.base == S.stacksize)
		return ERROR;
	*S.top++ = elmt;
	return OK;
}
//入度数组的初始赋值
void findinDegree(ALGraph G,int indegree[]){
     
	int i;
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++){
     
		ArcNode *p = G.vertices[i].firstarc;
		while(p){
     
			indegree[p->adjvex]++;
			p = p->nextarc;
		}
	}
}
//栈是否为空的判断
Status StackEmpty(Stack &S){
     
	if(S.base == S.top) return TRUE;
	else return FALSE;
}
//出栈
Status Pop(Stack &S, int &i){
     
	i = *--S.top;	//先下移，然后把栈顶元素存到i中,即先出栈的顶点的地址
	//注意，Stack中存放的是顶点表的下标信息，所有vertices[i]是表示一个顶点元素；
}

拓扑排序：（正片部分）

Status Topological(ALGraph G){
     
	//创建栈和indegree数组并将它们初始化：
	int indegree[MAX_VERTEX_NUM] = {
     0};
	Stack S;
	int i;
	InitStack(S, G.vexnum);
	findinDegree(G,indegree);
	for(i = 0; i < G.vexnum; i++)
		if(!indegree[i]) Push(S, i);	//如果indegree[i]为空，则进栈
	int count = 0;
	while(!StackEmpty (S)){
     	//若栈非空，假设由n个进栈，那么就出栈n个
		Pop(S,i);count++;	//栈顶元素（某一结点）出栈，并且该结点所对应的下标信息传递给i,因此该点为vertices[i]
		//将所有相关连接点的入度-1
		for(ArcNode *p = G.vertices[i].firstarc; p; p = p->nextarc){
     
			int k = p->adjvex;	//把与vertices[i]连接的所有结点的下标信息放到k中
			if(!(--indegree[k]))	Push(S,k);	//若点vertices[k]的入度在-1之后为0，那么入栈。
		}
	}
	if(count < G.vexnum) return ERROR;	//如果入栈的结点少于图的结点数，那么图中含有环，返回ERROR
	else return OK;
}

结合代码在分析整个过程：