PKU 1061 (扩展欧几里德)

 

所谓扩展欧几里德,就是在欧几里德算法的基础上加入变量X,Y,使得aX-bY=GCD(a,b)。

 

此时X，Y是该不定方程式的一组解。

 

 

求a * x + b * y = n的整数解的过程:

 

1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = n'，此时Gcd(a',b')=1;

 

2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = n'的一组整数解；

 

3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = n'的所有整数解为：

            x = n' * x0 + b' * t
            y = n' * y0 - a' * t
                (t为整数)

上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

 

 

关于1061的解法

 

由题意:

    (x+mt)-(y+nt)=pL

=>(m-n)t-(y-x)=pL

=>(m-n)t-pL=(y-x) 即  (m-n)t≡(y-x)MOD(L)

令a=m-n,b=L,c=y-x,X=t,Y=p

 

则原等式转换为 aX-bY=c

使用扩展欧几里德 求出一组解X0,Y0=>aX0-bY0=GCD(a,b)

令d=GCD(a,b) 若c%d!=0 则无解

否则对于等式

aX0-bY0=d

=>a[X0/d]-b[Y0/d]=1

=>a[c*X0/d]-b[c*Y0/d]=c

此时c*X0/d即为所求的t

可以证明其为在0附近的最小解，由于c可能小于0，则加b（X增b，Y减a,和不变）使之为正解。

 

实现代码如下:

 

 

#include  < iostream >
using   namespace  std;
long   long  X,Y;

long   long  extendGCD( long   long  a, long   long  b)
{
     if  (b == 0 )
    {
        X = 1 ;
        Y = 0 ;
         return  a;
    }
     long   long  d = extendGCD(b,a % b);
     long   long  t = X;
    X = Y;
    Y = t - (a / b) * X;

     return  d;
}

int  main()
{
     long   long  x,y,m,n,L;
     while  (cin >> x >> y >> m >> n >> L)
    {
         long   long  A = m - n;    
         long   long  B = L;
         long   long  C = y - x;

         if  (A < 0 )
        {
            A =- A;
            C =- C;
        }

         long   long  d = extendGCD(A,B);

         if  (m == n || C % d != 0 )
        {
            printf( " Impossible\n " );
        }
         else
        {
            B /= d;
            C /= d;
             long   long  t = C * X;
            cout << (t % B + B) % B << endl;
        }
    }
     return   0 ;
}