数学竞赛-全微分与解析几何

数学竞赛

一、求极限

1.1 先化简

对于x趋于0，$e^{-x^2}$ 这种复杂的结构其实就是1。

1.2 减法式子化乘法

对于x趋于0，$\sqrt{1-x^3}-1$ 当然要化成乘法了，这个其实是用广义二项式定理做的，属于等价无穷小，或者泰勒级数。

1.3 熟悉常见的泰勒级数

$$\begin{gathered} e^x=1+x+\frac{1}{2!}{x}^2+\cdots +\frac{1}{n!}{x}^n+\dots \\ \sin x=x-\frac{1}{3!}{x}^3+\frac{1}{5!}{x}^5+\cdots +(-1{)}^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}{x}^{2n-1}+\dots \\ \cos x=1-\frac{1}{2!}{x}^2+\frac{1}{4!}{x}^4+\cdots +(-1{)}^n\frac{1}{2n!}{x}^{2n}+\dots \\ (1+x{)}^p=1+px+p(p-1)x^2+p(p-1)(p-2)x^3+p(p-1)(p-2)(p-3)x^4+\dots \\ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots \end{gathered}$$

​ 还有一个好玩的，
$$\arctan x=x-\frac{1}{3}{x}^3+\frac{1}{5}{x}^5-\frac{1}{7}{x}^7+\dots$$
​ 这个为啥这么规整，是因为可以这样求
$$\frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\dots$$
​ 这个式子是把之前这个式子中的x换成 $-x^2$ 得到的
$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+x^3+\dots$$
​ 然后arctanx求导就是这个，所以往上积分就可以得到。

1.4 再谈比较幂次

​ 我在数学分析基本功里讲过这个事情，可以通过记忆比较常见的函数的幂次，就可以判断一些极限，但是这个方法阐述的不是很完善，现在再次阐述一下。

​ 采用比较阶数的极限一定是分式型极限，对于求极限，那么显然极限是存在的，那么首先，利用这个性质，我们就可以先考虑对加减型的分子进行拆项，如果是可以拆开的，那么每个拆完的分式都是有极限的。拆完以后可以化简问题。

​ 那么怎样判断极限是否存在呢？那么就是分子的最小幂次只能大于等于分母的最小幂次。这就是最本质的道理。只要不满足这个条件，极限就不存在，当等于的时候，会有一个非零极限，当小于的时候，极限为0。

​ 那么怎样利用这个性质呢？那么就是应该充分利用麦克劳林展开，然后再用柯西乘积，大胆的舍弃高幂次的项，就可以很快的判断极限，比如
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x(\cos 2x{)}^{\frac{1}{2}}(\cos 3x{)}^{\frac{1}{3}}}{x^2}$$
​ 虽然是大部分是乘积形式的，但是只要胆子大，还是可以算的。首先，一旦幂次超过2，那么就不用考虑了，因为极限为0。所以要考虑就只有这样
$$\begin{gathered} \cos x=1-\frac{1}{2}{x}^2+o(x^2) \\ (\cos 2x{)}^{\frac{1}{2}}=1-x^2+o(x^2) \\ (\cos 3x{)}^{\frac{1}{3}}=1-\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2) \end{gathered}$$
​ 而且也不用把他们完全乘开，只需要看幂次等于和小于2的项就好了（等于的用于出结果，小于的用于和其他小于的项消掉，不然极限就不存在了）。所以有
$$\cos x(\cos 2x{)}^{\frac{1}{2}}(\cos 3x{)}^{\frac{1}{3}}=1-3x^2+o(x^2)$$
​ 最后就可以得到答案3了。

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二、微分

2.1 隐函数全微分

​ 隐函数求导到底什么是最重要的？他跟普通的求导有什么区别？我们要怎样看待这种区别？我觉得这些问题都可以用将求导转化为求全微分解决，这种求法是我刚刚想出来的，让我花点时间解释一下。

​ 传统的隐函数求导需要回答对谁求导？这个问题，这个问题在显函数之中是不存在的，谁是自变量，对谁求导，但是对于隐函数，这种东西是不靠谱的，比如一个简单的隐函数
$$x^2+y^2=1$$
​ 那么为什么是要求成这种形式
$$2x+2y{y}^{\prime }=0$$
​ 这种因为极其不对称而极其丑陋的东西。

​ 而且当隐函数出乘题目的时候，就会更加恶心（恶心表现在两方面求导繁琐易错和做不出来），比如这个题
$$已知y^2(x-y)=x^2,求证：\int \frac{1}{y^2}dx=\frac{3y}{x}-2ln|\frac{x}{y}|+C$$
​ 因为知道是个隐函数题目，所以就先隐函数求导看看吧，结果巨难求，而且求完以后发现还要把后面那个式子等号两边求一下导，还是在是y而不是y(x)的情况下，就恶心至极，然后还解不出来，看了答案发现需要完成 $t=\frac{x}{y}$的换元才能做，这就很搞人心态。

​ 但是如果是按全微分形式求呢？条件可以写成这样
$$(y^2-2x)dx+(2xy-3y^2)dy=0$$
​ 哪怕这个时候再转成导数，也不要太简单。而且众所周知，分式（对应求导）比乘式（对应全微分）进行代数处理要方便许多。然后后面一路平趟，超级简单。

2.2 多元隐函数全微分

​ 教材中给的还是结果，教材隐去了全微分列方程组，将方程组转化成矩阵，利用克莱姆法则求解矩阵这三个过程，直接上来莫名其妙行列式（相当于克莱姆法则的应用）。就让人摸不着头脑。我不知道我在这里哪怕记录下最原本的过程，过了一段时间以后会不会就忘记了，但是还是勉力记下吧。

​ 我们以一道例题为例
$$\{\begin{array}{l}{u}^2+v^2-x^2-y^2=0\\ -u+v-xy+1=0\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
​ 求 $\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}$。我们先看看全微分形式的答案是怎样的
$$\{\begin{array}{l}du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\\ dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$
​ 然后对于给出的隐函数求个全微分，看看会出现啥结果
$$\{\begin{array}{l}-2udu+2vdv-2xdx-dy=0\\ -du+dv-ydx-xdy=0\end{array}\text{\hspace{1em}(3)}$$
​ 所以答案就很明显了，因为（3）是一个四元两项的方程组，所以基础解系是二维的，可以用dx和dy表示du和dv。那么他们前面的系数就是我们要求的偏导。

​ （3）是可以整理成矩阵形式的，就是
$$\left[\begin{array}{cc}-2u& 2v\\ -1& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}du\\ dv\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2x& 1\\ y& x\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}dx\\ dy\end{array}\right]$$
​ 要是再粗糙一些，就可以用克莱姆法则解这个式子了（忽略dx，dy向量），但是这不是我要说的，我的方法就是普通的高斯消元。最后可以解得
$$\{\begin{array}{l}du=\frac{x-vy}{u+v}dx+\frac{1-2vx}{2v+2u}dy\\ dv=\frac{x+uy}{u+v}dx+\frac{1+2ux}{2v+2u}dy\end{array}$$
​ 只要让对应项相等就可以了。

​ 如果上升到理论的高度，我们可以这样概括，对于多元的隐函数，通过求全微分，可以得到这样的一组式子
$$\{\begin{array}{l}{F}_{u}du+F_{v}dv+F_{x}dx+F_{y}dy=0\\ G_{u}du+G_{v}dv+G_{x}dx+G_{y}dy=0\end{array}$$
​ 然后一定可以整理成（或者求解成）这种形式：
$$\{\begin{array}{l}du=\frac{\partial u}{\partial x}dx+\frac{\partial u}{\partial y}dy\\ dv=\frac{\partial v}{\partial x}dx+\frac{\partial v}{\partial y}dy\end{array}$$
​ 其他的都是花活。

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三、积分

3.1 莱布尼茨公式

3.2 第一型的积分微元

​ 在这里，如果没有直观化的理解，就很容易忘记第一型的线元或者面元的公式，而且遇到比如参数方程，或者是普通方程组，要是只背了一个公式，就很容易麻爪，所以这一节的目的是直观线元和面元的推导。

​ 线元和面元的推导其实原理都建立于解析几何上，准确的说，是建立在角度上，而角度又与真正的积分微元和法向量或者切向量有关。

​ 对于线元，我们有
$$ds=\frac{dx}{\cos \alpha }$$
​ 其中dx可以是dx，也可以是dy，是dt，是啥都行，只要是具体的积分微元就可以，$\alpha$ 是dx与ds的夹角，那么夹角是怎样求出来的呢，其实就是曲线的切向量与dx的内积除以切向量的模长。比如当曲线用参数方程表示的时候，切向量和切向量的模长
$$n=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t)),|n|=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}$$
​ 如果用dx做积分微元，那么此时 $\cos \alpha$就是
$$\cos \alpha =\frac{x^{\prime }(t)}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+y_x^2+z_x^2}}$$
​ 如果用dt作为积分微元，那么此时 $\cos \alpha$就是
$$\cos \alpha =\frac{1}{\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}}$$
​ 对于面元，同样也有这种思考，即
$$dS=\frac{dydz}{\cos \alpha }=\frac{dzdx}{\cos \beta }=\frac{dxdy}{\cos \gamma }$$
​ 最后还是要落实到求角度的问题，比如 $\alpha$ 就是dx与法向量的夹角（这里用了几何知识），所以求这个，其实就是
$$\cos \alpha =\frac{F_x}{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}=\frac{1}{\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}}$$

3.3 有理函数不定积分

​ 虽然复习了很多遍，但是遇见题还是不会，所以又整理了一遍。

​ 首先需要把有理多项式的积分，首先应该把它化为多项式和真分式的和，在把真分式分解成部分分式的形式，对于部分分式的四种基本类型，都是可以进行积分的。

​ 另外需要强调的是，这种预处理几乎是必须的，它并不像三角函数那样可以跳过，这是必须的。
$$\int \frac{1}{x-a}dx=ln|x-a|+C$$
$$\int \frac{1}{(x-a{)}^n}dx=\frac{1}{1-n}(x-a{)}^{1-n}+C$$

$$\int \frac{Mx+N}{x^2+px+q}dx首先要对分子进行配方，转变成这种形式$$

$$\int \frac{Mu+b}{u^2+a^2}du=\frac{M}{2}\int \frac{d(u^2+a^2)}{u^2+a^2}+b\int \frac{du}{u^2+a^2}=\frac{M}{2}ln(u^2+a^2)+\frac{b}{a}arctan\frac{u}{a}+C$$
​ 可以看到，主要利用的是配方法和arctanx的微分，这种形式一定要熟悉。
$$\int \frac{Mx+N}{(x^2+px+q{)}^n}dx=\frac{M}{2}\int \frac{u^2+a^2}{(u^2+a^2{)}^n}+b\int \frac{du}{(u^2+a^2{)}^n}$$
​ 现在难点就落在对最后一项的积分上了，这个是需要迭代才能积分出来的。较为复杂。有（这里真的很复杂，首先（1）中那个构造就很反人类，然后（2）中分部积分的时候，居然把分子拆开了，也是不太常见，所以一定要背过）
$$I_n=\int \frac{du}{(u^2+a^2{)}^n}=\frac{1}{a^2}\int \frac{u^2+a^2-u^2}{(u^2+a^2{)}^n}du=\frac{I_{n-1}}{a^2}+\frac{1}{a^2}\int \frac{-u^2}{(u^2+a^2{)}^n}du\text{\hspace{1em}(1)}$$
​ 所以问题的交点又变成了对最后一项的积分，采用分部积分有
$$\int \frac{u^2}{(u^2+a^2{)}^n}du=\frac{1}{2}\int \frac{u}{(u^2+a^2{)}^n}d(u^2+a^2)=\frac{1}{2(1-n)}(\frac{u}{(u^2+a^2{)}^{n-1}}-I_{n-1})\text{\hspace{1em}(2)}$$

3.4 多元函数积分变量代换

​ 教材依然是给的不明就里，平白无故出现雅克比行列式，然后平白无故进行代换。我思考良久，决定还是应该从全微分的角度给出推导。

​ 当我们进行多重积分的时候，其实就是对体积微元进行积分，体积微元一般是dv，但是我们一般用dxdydz来近似（其实严格的话是需要证明的），变量代换说的解释将dxdydz换成dudvdw的过程，虽然两者都是体积微元，但是两个体积微元的大小并不相同，而是需要计算的，那么如何计算呢，很简单，因为微元具有线性性质，只要把这种微元表示成那种微元（就跟换基）一样，然后利用行列式的绝对值是面积或者体积的特性，就可以求出两种体积微元的比值。具体操作如下。
$$\{\begin{array}{l}x=x(u,v,w)\\ y=y(u,v,w)\\ z=z(u,v,w)\end{array}$$
​ 对其求全微分，有
$$\begin{gathered} dx=x_{u}du+x_{v}dv+x_{w}dw \\ dy=y_{u}du+y_{v}dv+y_{w}dw \\ dz=z_{u}du+z_{v}dv+z_{w}dw \end{gathered}$$
​ 这个式子可以理解为换基了，所以可以求出比值就是基变换行列式的值。
$$\begin{gathered} |J|=\left|\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right| \\ dxdydz=J\cdot dudvdw \end{gathered}$$
​ 这就是根本原理。

​ 另外说一下书上的标记，书上有如下记号

$$\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u,v,w)}=\left[\begin{array}{ccc}{x}_u& x_v& x_w\\ y_u& y_v& y_w\\ z_u& z_v& z_w\end{array}\right]$$
​ 常见的雅克比行列式的值，有柱坐标系的 $r$ ，还有球坐标系的 $r^2\sin \varphi$ （phi是0到pi的那个），极坐标系的 $r$ 。

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四、解析几何

4.1 切向量和法向量

​ 这个章节我已经总结无数次了，但是每次都忘，实在是没有办法了。只好再次写一次了，就很无奈。

4.1.1 求垂直于两个向量的第三个向量

​ 我们都知道可以用形式行列式来求解，就是这样：
$$\left[\begin{array}{ccc}i& j& k\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right]$$
​ 最后求解出来就是这样（用n表示法向量，因为n是normal vector的意思）
$$n=(y_1{z}_2-y_2{z}_1,x_2{z}_1-x_1{z}_2,x_1{y}_2-x_2{y}_1)$$
​ 但是其实这个并不本质，最本质的是用的是当两个向量垂直时，他们点乘为0这个性质，列出两个式子，这样：
$$\{\begin{array}{l}{x}_{1}x+y_{1}y+z_{1}z=0\\ x_{2}x+y_{2}y+z_{2}z=0\end{array}$$
​ 然后这个再转换成一个矩阵相乘的形式
$$\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right]\cdot n=0$$
​ n对应一个基础解系。然后最对称的一个就是上面那个用形式行列式解出来的那个。

4.1.2 已知法向量求过定点的平面

​ 这个其实也是垂直的向量点乘等于0的应用，因为是法向量，所以他应该与平面内的任何一条直线垂直，所以我们利用这个性质，可以列出一个等式
$$n\cdot \left[\begin{array}{c}x-x_0\\ y-y_0\\ z-z_0\end{array}\right]=0$$
​ 如果要是将其写开，可以整理成很漂亮的形式，如下
$$x_{n}x+y_{n}y+z_{n}z=x_n{x}_0+y_n{y}_0+z_n{z}_0$$
​ 正因为如此，当我们看见一个一般平面的时候，可以很轻易的写出他的法向量。
$$Ax+By+Cz+D=0,n=(A,B,C)$$

4.1.3 参数方程表示的曲线的切向量和法平面

​ 其实最自然的是曲线方程就是参数方程，尤其是那种带t的，t最好是曲线的长度，然后x，y，z是t在三个面上的投影，简直完美，所以对于，我们可以很容易想到，当参数方程式这样的
$$\{\begin{array}{l}x=x(t)\\ y=y(t)\\ z=z(t)\end{array}$$
他的切向量是
$$n=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$$
然后根据4.1.2的内容，可以求它的法平面
$$x^{\prime }(t_0)x+y^{\prime }(t_0)y+z^{\prime }(t_0)z=x^{\prime }(t_0)x(t_0)+y^{\prime }(t_0)y(t_0)+z^{\prime }(t_0)z(t_0)$$

4.1.4 对“方程组表示的曲线的切向量和法平面”书上解法的批判

​ 方程组表示的曲线长成这个样子
$$\{\begin{array}{l}F(x,y,z)=0\\ G(x,y,z)=0\end{array}$$
​ 可以看出，远远没有参数形式直观，那么应该怎么办呢？书上给了一种我要批判的方法，这种方法就是强行将其转换为参数方程然后套用4.1.3的形式，具体说来，就是把x看为参数，然后就可以这样
$$\{\begin{array}{l}x=x\\ y=y(x)\\ z=z(x)\end{array}$$
​ 那么 $y^{\prime }(x),z^{\prime }(x)$怎么求呢？当然是隐函数求导了（这个也是要批判的点，具体原因见2.1），可以获得一个方程组
$$\{\begin{array}{l}{F}_x+F_y{y}^{\prime }(x)+F_z{z}^{\prime }(x)=0\\ G_x+G_y{y}^{\prime }(x)+G_z{z}^{\prime }(x)=0\end{array}$$
​ 然后书上最骚的是，居然还不老老实实解，还非得用一下克莱姆法则（还是先给结论，后给推导，都不知道这俩其实是一种方法）
$$\left[\begin{array}{cc}{F}_y& F_z\\ G_y& G_z\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{y}^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right]=-\left[\begin{array}{c}{F}_x\\ G_x\end{array}\right]$$
​ 然后就可以解出来了，其他就梳理成章了。

4.1.5 曲面的直观理解

​ 在4.1.2中，我们在最后介绍了如何从平面的方程观察性质（法向量）。现在介绍一下面对曲线方程，如何求法向量。

​ 这其实还是建立在对曲面的直观理解上，我个人感觉，应该将平面方程更换为这个
$$F_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0$$
​ 这个接近以直代曲的思想，考虑平面，有
$$Ax+By+Cz+D=0$$
​ 那么将x,y,z换成dx，dy，dz，就是将一小片曲面看成平面，此时这个平面的法向量就是 $(F_x,F_y,F_z)$ ，然后往上积分，就可以得到
$$F(x,y,z)=C$$
​ 这就是我们熟悉的曲面的一般形式。

​ 总结一下，就是有了这个直观感觉，当给定一个曲面方程的时候，就可以写出它在任一点的法向量$(F_x,F_y,F_z)$。

4.1.6 直观化方程组表示的曲线

​ 有了4.1.5的基础，我们就可以对方程组表示的曲线有了一个更深的理解，我们首先将方程组写成这个样子
$$\{\begin{array}{l}{F}_{x}dx+F_{y}dy+F_{z}dz=0\\ G_{x}dx+G_{y}dy+G_{z}dz=0\end{array}$$
​ 也就是说，所谓曲线，就是在任意点(x,y,z)都保证他的（dx,dy,dz）与两个平面在此点的法向量都垂直（因为直线同时在两个面上），这样，就是(dx,dy,dz)是法向量，那么两个方程解三个未知量，刚好符合法向量的定义（定方向，不定长）。

​ 然后解完法向量以后，就可以再求切平面了。

4.1.7 参数方程的曲面的切平面和法向量