字符串编辑距离

Levenshtein Distance (LD, 来文史特距离)也叫edit distance(编辑距离)，它用来表示2个字符串的相似度，LD定义为需要最少多少步基本操作才能让2个字符串相等，基本操作包含3个：插入, 删除, 替换；比如，kiteen和sitting之间的距离可以这么计算：  
          1，kitten   --   >   sitten,   替换k为s；  
          2，sitten   --   >   sittin,   替换e为i;  
          3，sittin   --   >   sitting,   增加g；  
所以，其LD为3。

设计状态d[m][n] = d(A[1..m], B[1..n])，易知：
d[0][0] = 0;
d[i][0] = i;
d[0][j] = j;
d[i][j] = min( d[i-1][j-1] + (If A[i]=B[j] Then 0 Else 1 End If), //修改一个字符
                   d[i-1][j] + 1, //插入一个字符
                   d[i][j-1] + 1  //删除一个字符
于是可以递推地填满一个 m * n 的矩阵，即得答案。
计算LD的算法表示为(C++代码)：  
int d[1010][1010]; 
int dist(string a, string b){
    int m = a.size(), n = b.size(), i, j;
    for(i = 0; i <= m; ++i) d[i][0] = i;
    for(j = 0; j <= n; ++j) d[0][j] = j;
    for (i = 1; i <= m; ++i){
        for(j = 1; j <= n; ++j){
            //    --------------     a, b是从0开始计数的
            d[i][j] = d[i-1][j-1] + (a[i-1]==b[j-1]?0:1); //修改一个字符
            d[i][j] = min(d[i][j], d[i-1][j] + 1); //插入一个字符
            d[i][j] = min(d[i][j], d[i][j-1] + 1); //删除一个字符
        }
    }
    for (i = 0; i <= m; ++i){ //打印矩阵
        for(j = 0; j <= n; ++j) 
            printf("%5d ", d[i][j]);
        printf("\n");
    }
    return d[m][n];
}
这个算法其实就是一个矩阵的计算：  
引用调用dist("abcdef", "acddaf")可以得到输出为: 
    0     1     2     3     4     5     6 
    1     0     1     2     3     4     5 
    2     1     1     2     3     4     5 
    3     2     1     2     3     4     5 
    4     3     2     1     2     3     4 
    5     4     3     2     2     3     4 
    6     5     4     3     3     3     3
最后的d[m][n]就是求得的答案。

贴一个优化空间复杂度为O(n)的代码(滚动数组)：
int diff(char *a, char *b){
    int *d[2], i, j;
    int m = strlen(a), n = strlen(b);
    d[0] = new int[n + 1];
    d[1] = new int[n + 1];
    int turn = 0, pre, t;
    for (i = 0; i <= n; ++i) d[turn][i] = i;
    for (i = 1; i <= m; ++i){
        pre = turn;
        turn = (turn + 1) % 2;
        d[turn][0] = i;
        for(int p=0;p<=n;p++)printf("%d ",d[pre][p]);printf("\n");
        for(j = 1; j <= n; ++j){
            t = d[pre][j-1] + (a[i-1] == b[j-1] ? 0 : 1);
            t = min(t, d[pre][j] + 1);
            d[turn][j] = min(t, d[turn][j-1] + 1);
        }
    }
    for(int p=0;p<=n;p++)printf("%d ",d[turn][p]);printf("\n");
    t = d[turn][n];
    delete[] d[0];
    delete[] d[1];
    return t;
}