计算机控制系统2-信号转换与z变换

注：本文是在学习东北大学 关守平教授讲授的《计算机控制系统》的过程中的学习笔记与总结

本课程重要内容为：

计算机控制系统概论
信号转换与z变换
计算机控制系统数学描述与性能分析
数字控制器的模拟化设计方法
数字控制器的直接设计方法
基于状态空间模型的极点配置设计方法

信号转换

采样：连续信号→离散信号 A/D转换器

在每一个采样时刻，用采样开关对模拟信号进行采样，采集模拟信号在采样时刻的脉冲，采样频率越高，采样效果越好。

经过采样、编码、量化三个过程

采样信号的恢复 离散信号→连续信号 D/A转换器

香农采样定理
在采样的过程中连续信号的的频谱发生变化，离散的信号除了主频谱之外，还有多个辅频谱，当采样频率Ws＜两倍的连续信号最大频谱Wmax时离散信号的主频谱和辅频谱有重叠，

而Ws>2Wmax时离散信号的主频谱和辅频谱无重叠，使用理想的低通滤波器便可无失真的复现原连续信号，这就是香农采样定理。

零阶保持器ZOH保持器的作用是根据被采样时刻的瞬时值，求出采样时刻之间的函数值，而零阶保持器是按梯形恢复原来的信号，数学描述简单，易于实现，所以被广泛应用。

Z变换与Z反变换

（1）Z变换

我们通过采样得到的是时域表达式，在通过拉氏变换变换到s域，再引入算子z，得到z域F（Z）
也就是f(t)→f*(t)→F*(S)→F(Z)

z变换的方法
a、级数求和
Z变换写成多项式形式：

例如对单位脉冲求z变换

b、部分分式法
把连续信号拉普拉斯变换之后展开成有理多项式

然后z变换

例如

c、留数法
留数法可以解决所有的z变换问题

Z反变换的方法
F（Z）→f*(t)
a、长除法（定义）

第一步：长除法把F（Z）展开成无穷级数

对比定义式


则：

例如：

b、部分分式法
把F（Z）因式分解

然后查表进行z反变换，进而得到f*（t）



c、留数法

留数法适用于任何情况，这里的pi表示第i个极点，n表示极点个数，即f(kT)等于F(z)z
k-1的
全部极点的留数之和。