数理统计复习笔记六——Pearson卡方拟合优度检验

一、分类数据的${\chi }^2$拟合优度检验

1.1 一般情形下的检验问题

根据某项指标，总体被分为$r$类：$A_1,\cdots ,A_r$。此时我们最关心的是关于各类所占的比例的假设$$H_0:第i类A_i所占的比例为p_i,i=1,\cdots ,r\text{\hspace{1em}(1)}$$
其中，$\sum _{i=1}^r{p}_i=1$。

记$X_1,\cdots ,X_n$为从此总体抽出的$n$个$IID$总体，且以$n_i$记这$n$个样本中属于$A_i$的样本个数。当$H_0$成立时，在$n$个样本中属于$A_i$类的理论个数或期望个数为$n{p}_i$，而我们实际观测到的值为$n_i$，故当$H_0$成立时，$n_i$与$n{p}_i$应相差不大。于是，可以用统计量$${\chi }^2=\sum _{i=1}^r\frac{(n_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}\text{\hspace{1em}(2)}$$来衡量理论个数与实际观测值之间的差别，并且其拒绝域为$\{{\chi }^2\ge c\}$

1.2 定理

为了控制上述检验犯第一类错误的概率，我们必须知道此检验统计量的零分布，为此有以下定理：

在$H_0$成立且$p_i$均已知时，我们有$${\chi }^2\to {\chi }^2(r-1)\text{\hspace{1em}(3)}$$

所以可以得到拒绝域为$$W=\{{\chi }^2\ge {\chi }_{\alpha }^2(r-1)\}\text{\hspace{1em}(4)}$$

二、关于分布的假设

2.1 完全已知的分布

对于一般的分布假设$$H_0:F(x)\equiv F_0(x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
其中，$F_0(x)$为一个完全已知的分布函数（形式和参数均已知）

此时，可以把$(-\infty ,\infty )$（或样本空间）分成$r$个互不相交的区间：$$(-\infty ,\infty )=\bigcup _{i=1}^r{I}_i=(-\infty ,a_1)\cup [a_1,a_2)\cup \cdots \cup [a_{r-1},\infty )\text{\hspace{1em}(6)}$$
且以$n_i$记落在第$i$个区间$I_i$内的样本个数，再记$$p_1=F(a_1),p_2=F(a_2)-F(a_1),\cdots ,p_r=1-F(a_{r-1})\text{\hspace{1em}(7)}$$$$p_{10}=F_0(a_1),p_{20}=F_0(a_2)-F_0(a_1),\cdots ,p_{r0}=1-F_0(a_{r-1})\text{\hspace{1em}(8)}$$
则我们可以用统计量$${\chi }^2=\sum _{i=1}^r\frac{(n_i-n{p}_{i0}{)}^2}{n{p}_{i0}}\text{\hspace{1em}(9)}$$
来检验。

• 我们检验的假设为$H_0:p_i=p_{i0}$，所以如果分点选的不是很好，可能会把两个有一定差别的分布检验为没有区别
• 在一般情形下，分点的选取应保证落在每个区间内的样本点个数不小于$5$，且总的样本容量不应小于$30$
• 当$F_0$中含有未知参数时，上述拟合优度检验无法实施

2.2 带有未知参数的${\chi }^2$拟合优度检验

在许多实际问题中，我们感兴趣的假设可能为$$H_0:F(x)\equiv F_0(x;{\theta }_1,\cdots ,{\theta }_k)\text{\hspace{1em}(10)}$$
其中，$F_0(x;{\theta }_1,\cdots ,{\theta }_k)$是依赖于$k$个未知参数的形式已知的分布，如一般的正态分布，二项分布等。

Fisher指出，当$H_0$成立时，可先用MLE估计未知参数，可以得到${\hat{p}}_{i0}$的值，之后可以利用统计量$${\chi }^2=\sum _{i=1}^r\frac{(n_i-n{\hat{p}}_{i0}{)}^2}{n{\hat{p}}_{i0}}\text{\hspace{1em}(11)}$$
作为检验统计量，且当$H_0$成立时及$n\to \infty$时，仍有${\chi }^2\to {\chi }^2(r-1-k)$