hdu 3507 斜率dp

不好理解，先多做几个再看

此题是很基础的斜率DP的入门题。

题意很清楚，就是输出序列a[n]，每连续输出的费用是连续输出的数字和的平方加上常数M

让我们求这个费用的最小值。

设dp[i]表示输出前i个的最小费用，那么有如下的DP方程：

dp[i]= min{ dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2 +M }  0<j<i

其中 sum[i]表示数字的前i项和。

相信都能理解上面的方程。

直接求解上面的方程的话复杂度是O(n^2)

对于500000的规模显然是超时的。下面讲解下如何用斜率优化DP使得复杂度降低一维。

 

我们首先假设在算 dp[i]时，k<j ,j点比k点优。

也就是

dp[j]+(sum[i]-sum[j])^2+M <= dp[k]+(sum[i]-sum[k])^2+M;

所谓j比k优就是DP方程里面的值更小

对上述方程进行整理很容易得到：

[(dp[j]+sum[j]*sum[j])-(dp[k]+sum[k]*sum[k])] / 2(sum[j]-sum[k]) <=sum[i].

注意整理中要考虑下正负，涉及到不等号的方向。

左边我们发现如果令：yj=dp[j]+sum[j]*sum[j]   xj=2*sum[j]

那么就变成了斜率表达式：（yj-yk）/(xj-xk) <= sum[i];

而且不等式右边是递增的。

所以我们可以看出以下两点：我们令g[k,j]=(yj-yk)/(xj-xk)

第一：如果上面的不等式成立，那就说j比k优，而且随着i的增大上述不等式一定是成立的，也就是对i以后算DP值时，j都比k优。那么k就是可以淘汰的。

第二：如果 k<j<i   而且 g[k,j]>g[j,i] 那么 j 是可以淘汰的。

假设  g[j,i]<sum[i]就是i比j优，那么j没有存在的价值

相反如果 g[j,i]>sum[i] 那么同样有 g[k,j]>sum[i]  那么 k比 j优 那么  j 是可以淘汰的

 

所以这样相当于在维护一个下凸的图形，斜率在逐渐增大。

通过一个队列来维护。

 

于是对于这题我们对于斜率优化做法可以总结如下：

1，用一个单调队列来维护解集。

2，假设队列中从头到尾已经有元素a b c。那么当d要入队的时候，我们维护队列的上凸性质，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就将c点删除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]为止，并将d点加入在该位置中。

3，求解时候，从队头开始，如果已有元素a b c，当i点要求解时，如果g[b,a]<sum[i]，那么说明b点比a点更优，a点可以排除，于是a出队。最后dp[i]=getDp(q[head])。

 

 1 /*

 2 HDU 3507

 3 

 4 */

 5 

 6 #include<stdio.h>

 7 #include<iostream>

 8 #include<string.h>

 9 #include<queue>

10 using namespace std;

11 const int MAXN=500010;

12 

13 int dp[MAXN];

14 int q[MAXN];//队列

15 int sum[MAXN];

16 

17 int head,tail,n,m;

18 // dp[i]= min{ dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2 };

19 int getDP(int i,int j)

20 {

21     return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);

22 }

23 

24 int getUP(int j,int k) //yj-yk部分

25 {

26     return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);

27 }

28 int getDOWN(int j,int  k)

29 {

30     return 2*(sum[j]-sum[k]);

31 }

32 

33 int main()

34 {

35   //  freopen("in.txt","r",stdin);

36   //  freopen("out.txt","w",stdout);

37     while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)

38     {

39         for(int i=1;i<=n;i++)

40            scanf("%d",&sum[i]);

41         sum[0]=dp[0]=0;

42         for(int i=1;i<=n;i++)

43            sum[i]+=sum[i-1];

44         head=tail=0;

45         q[tail++]=0;

46         for(int i=1;i<=n;i++)

47         {

48             //把斜率转成相乘，注意顺序，否则不等号方向会改变的

49             while(head+1<tail &&  getUP(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+1],q[head]))

50                head++;

51             dp[i]=getDP(i,q[head]);

52             while(head+1<tail && getUP(i,q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],q[tail-2])<=getUP(q[tail-1],q[tail-2])*getDOWN(i,q[tail-1]))

53                     tail--;

54             q[tail++]=i;

55         }

56         printf("%d\n",dp[n]);

57     }

58     return 0;

59 }