【算法】 最短路径算法——Dijikstra算法

前言

       去年大二的时候学习了数据结构和离散数学，记得当时对各种遍历算法、最短路径、排序算法都有一定的掌握，尤其是几种经典的算法都比较熟悉，那时候还没记笔记的习惯，把算法用到具体的编程实战中的机会较少，一直在纸上谈兵。今天学习计算机网络，在通信网络中，路由器与路由器之间最短路径算法，又对这些算法感兴趣了。大二时那种觉悟还没感到数据结构和算法的有用性，（知道有用 但是不知道这么有用），现在遇到的前辈都说，于是从头再过一遍data  structure.

还是像往常一样，先从网络上找点这方面的介绍，安逸。

来源于百度百科

算法介绍

迪杰斯特拉(Dijikstra)算法是由荷兰计算机科学家狄克斯特拉于1959 年提出的，因此又叫狄克斯特拉算法。是从一个顶点到其余各顶点的最短路径算法，解决的是有向图中最短路径问题。迪杰斯特拉算法主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。使用广度优先（BFS）搜索解决赋权有向图或者无向图的单源最短路径问题，算法最终得到一个最短路径树。该算法常用于路由算法或者作为其他图算法的一个子模块。

算法思路

Dijikstra算法其实是贪心策略的一个应用，主要用于解决图中的最短路径问题。

算法是递归得到一个最小生成树，直到找到最终的终点即可。

主要做的事为每次选择最短的邻边进行遍历，判断，加和，递归。

首先从起始点开始，按照一定的时针顺序，遍历其到每一个顶点连线的距离，将这些距离进行排列，然后选出最短的一条，到达对应的顶点，然后接着执行这个顺序，直到到达最终的点即可。

注意 1.不回溯，也就是算法不可以返回已经遍历过的点。2.将每次走的最短的边加起来就得到了总长度。

算法演示

对图的一种表示方法就是它的邻接矩阵，许多算法也都是直接基于邻接矩阵进行操作的。我们就以下面的例子为例

（from 杨频计网PPT Dijkstra’s algorithm: example）

这道题就是一个网络中有多个路由器的情形，目标是从U给Z发送文件，问怎么走路径最短。

这道题还加权了，我们通过邻接矩阵来表示一下。邻接矩阵是第一步 更清晰，如图

表示的方法为：如果两个点有边相连，直接填上边的权值。如果没有直接相连，填 ∞ 即可。同点之间填0

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞
V	7	0	3	∞	4	∞
W	3	3	0	4	8	∞
X	5	∞	4	0	7	9
Y	∞	4	8	7	0	2
Z	∞	∞	∞	9	2	0

然后就开始对其进行依次遍历了，从U到Z，看着邻接矩阵 即可。

1.从与U相邻的所有边中选择最短的，不难看到是与W相连的为3。

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞

2.记录UW，从W开始选择其最短的，路径为3

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞
UW	/	3	0	4	8	∞

3.从W的点开始选择最短的，到V最短，路径加3

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞
UW	/	3	0	4	8	∞
UWV	/	0	/	∞	4	∞

4.类似的，到Y最短，路径加4

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞
UW	/	3	0	4	8	∞
UWV	/	0	/	∞	4	∞
UWVY	/	/	/	7	0	2

5.接着发现到Z最短，也直接到了Z，即可

	U	V	W	X	Y	Z
U	0	7	3	5	∞	∞
UW	/	3	0	4	8	∞
UWV	/	0	/	∞	4	∞
UWVY	/	/	/	7	0	2
UWVYZ	/	/	/	/	/	0

total=3+3+4+2=12，即可求出最短路径为12.

当然这个算法做的时候还是有一些限制条件，假如说我们给U到Z之间连一条线，它的路径为11，此时，U到Z直达为11，但是按照算法做下来就是12了。

按照百度和别的一些算法提示说

按路径长度递增次序产生算法：

把顶点集合V分成两组：

（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）

（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合

将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：

（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度

（2）每个顶点对应一个距离值

S中顶点：从V0到此顶点的长度

T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

 

其实可以理解为算法为，从源点到每个下一个顶点都是最短路径，而不是“绕”中最短。

 

就是这样，在做纸质题时较为直观可以看出，在编程时应该注意这些坑。