初识数据结构与算法 基础篇(一)

1 数据结构基本概念和术语

说到数据结构，就要先了解数据。俗语云：“巧妇难为无米之炊”，再强大的计算机，也是要有“米”下锅才可以干活的，否则就是一堆破铜烂铁。这个“米”就是数据。

    首先，先看一下下图展示：

图1

从图中我们可以看到几个关键性术语：数据、数据对象、数据元素、数据项等。下面逐个说明。

1.1 数据相关描述

1.1.1 数据

        数据：是描述客观事物，是计算机可以操作的对象，是可以被计算机识别，并输入给计算机处理的。    

    数据的特征：

    (1).可以输入到计算机。

    (2).可以被计算机处理。

1.1.2 数据元素

    数据元素：组成数据对象的基本单位。

    打个比方，在人类中，人扮演着数据元素。

1.1.3 数据项

    数据项：一个数据元素由若干个数据项组成。数据项是数据不可分割的最小单位。

    比如人这样的数据元素，有名字、年龄、性别、联系电话、出生地址等数据项。

1.1.4 数据对象

    数据对象：性质相同的数据元素的集合。

    什么叫性质相同？是指数据元素具有相同数量和类型的数据项。比如，还是刚才的例子，人都有姓名、年龄、性别等相同的数据项。

1.2 数据结构

1.2.1 数据结构

    结构：不同的数据元素之间不是独立的，存在着特定关系，这些关系叫做结构。

    数据结构：是指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。按照视点不同，可以分成逻辑结构和物理结构。

1.2.2 逻辑结构

    逻辑结构：是指数据对象中数据元素之间的相互关系。逻辑结构分为以下四种，如图所示：

    (1) 集合结构：集合结构中的数据元素除了同属于一个集合外，它们之间没有其他关系（如图2所示）。各个数据元素是“平等”的，它们的共同属性是“同属于一个集合。    

图2 集合结构

(2) 线性结构：线性结构中的数据元素之间是一对一的关系（如图3所示）。

图3 线性结构

(3) 树形结构：树形结构中的数据元素之间存在一种一对多的层次关系（如图4所示）。

图4 树形结构 

(4) 图形结构：图形结构的数据元素是多对多的关系（如图5所示）。

图5 图形结构

1.2.3 物理结构

    物理结构：是指数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。数据的存储结构应正确反应元素之间的逻辑关系，如何存储数据元素之间的逻辑关系，是实现物理结构的重点和难点。数据元素的存储结构形式有两种：顺序存储和链式存储。

1. 顺序存储结构

    顺序存储结构：是把数据元素存放在地址连续的存储单元里，其数据间的逻辑关系和物理关系是一致的（如图6所示）。

图6 顺序存储

2. 链式存储结构

    链式存储结构：是把数据元素存放在任意的存储单元里，这组存储单元可以是连续的，也可以是不连续的。数据元素的存储关系并不能反映其逻辑关系，因此需要用一个指针存放数据元素的地址，这样通过地址就可以找到相关联数据元素的位置（如图7所示）。

图7 链式存储

1.3 抽象数据类型

1.3.1 数据类型

    数据类型：是指一组性质相同的值的集合及定义在此集合上的一些操作的总称。 数据类型是按照值的不同进行划分的。在高级语言中，每个变量、常量和表达式都有各自的取值范围。类型就用来说明变量或表达式的取值范围和所能进行的操作。

    在C语言中，按照取值的不同，数据类型可以分为两类：

    (1) 原子类型：是不可以再分解的基本类型，包括整型、实型、字符型等。

    (2) 结构类型：由若干个类型组合而成，是可以再分解的。例如，整型数组是由若干整型数据组成的。

1.3.2 抽象数据类型

    抽象是指抽取出事物具有的普遍性的本质。它是抽出问题的特征而忽略非本质的细节，是对具体事物的一个概括。抽象是一种思考问题的方式，它隐藏了繁杂的细节，只保留实现目标所必需的信息。

    抽象数据类型（Abstract Data Type，ADT）：是指一个数学模型及定义在该模型上的一组操作。抽象数据类型的定义仅取决于它的一组逻辑特性，而与其在计算机内部如何表示和实现无关。

    抽象数据类型不仅仅指那些已经定义并实现的数据类型，还可以是计算机编程者在设计软件程序时自己定义的数据类型，比如我们编写关于计算机绘图或者地图类的软件系统，经常都会用到坐标。也就是说，总是有成对出现的x和y，在3D系统中还有z出现，既然这三个整型数字是始终在一起出现，我们就定义一个叫point的抽象数据类型，它有x、y、z三个整型变量，这样我们很方便地操作一个point数据变量就能知道这一点的坐标了。

1.4 总结回顾

    说明了一些数据结构的一些相关概念。

    由这些概念，给出了数据结构的定义：数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

    同样是结构，从不同的角度来讨论，会有不同的分类，如图8所示。

图8

    最后介绍了一些抽象数据类型相关的知识点。

2 算法

    算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

2.1 数据结构和算法的关系

    两者关系：数据结构为算法提供服务，算法围绕数据结构操作。数据结构只是静态的描述了数据元素之间的关系；高效的程序需要在数据结构的基础上设计和选择算法。

    程序=算法+数据结构。

    数据结构是算法实现的基础，算法总是要依赖于某种数据结构来实现的。往往是在发展一种算法的时候，构建了适合于这种算法的数据结构。一种数据结构如果脱离了算法，那还有什么用呢？实际上也不存在一本书单纯的讲数据结构，或者单纯的讲算法。

    当然两者也是有一定区别的，算法更加的抽象一些，侧重于对问题的建模，而数据结构则是具体实现方面的问题了，两者是相辅相成的。

    因此，数据结构是数据间的有机关系，算法是对数据的操作步骤。

2.2 算法的特性

    算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

    (1) 输入：算法具有零个或多个输入。

    (2) 输出：算法至少有一个或多个输出。

    (3) 有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。

    (4) 确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

    (5) 可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。

2.3 算法设计要求

     针对问题，算法不是唯一的。这也就需要我们掌握相对好的算法。需要以下要求：

    (1) 正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

    (2) 可读性：算法设计目的是为了便于阅读、理解和交流。

    (3) 健壮性：算法应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。

    (4) 时间效率高和存储量低：时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。

2.4 算法时间复杂度

    在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

    这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

    大O记法：

    1．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

    2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

    3．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

    常见的时间复杂度（图2.4.1所示）：

图2.4.1 常见时间复杂度

常用的时间复杂度所耗费的时间从小到大依次是：O(1)

2.5 算法空间复杂度

    算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

2.6 总结回顾

针对算法的一些基本概念进行说明。对于算法的定于、特性、设计要求、以及时间和空间复杂度等进行简单提示。对于大O表示法规则进行陈述。