二分查找及其变种

一、 二分查找

如无特殊说明，本文中所有用到的待查数组均为从小到大顺序。

1.1 无重复元素的二分查找

• 实现
  C++

int binarySearch(int arr[], int n, int target)
{
    int l = 0, r = n - 1;
    
    while(l <= r)
    {
        int mid = l + (r-l)/2;
        
        if(arr[mid] < target)
             l = mid + 1;
        else if(arr[mid] > target)
             r = mid - 1;
        else
             return mid;
    }
    return -1;
}

python

def binary_search(arr, target):
    l = 0; r = len(arr) - 1
    
    while l <= r:
        mid = (l + r) // 2;
        
        if arr[mid] < target:
            l = mid + 1
        elif arr[mid] > target:
            r = mid - 1
        else
            return mid
    
    return -1

• 时间复杂度
  二分查找每次将查找区间折半，故其时间复杂度为O(logN)。

• 返回值
  查找target失败时可有两种返回值：

-1 ：作为一个错误码表示未查找到target。
l ：l 可作为target在arr中的插入位置。

1.2 有重复元素的二分查找

在有重复元素的数组arr中，查找target的最右位置。

• 实现
  C++

int duplicatedBS(int arr[], int target, int n)
{
    int l = 0, r = n-1;
    while(r-l > 1) 
    {
        int mid = l + (r-l) / 2;

        if(arr[mid] <= target)
            l = mid;
        else if(arr[mid] > target)
            r = mid;
    }
    return l;
}

python

def duplicatedBS(arr, target):
    l = 0; r = len(arr)-1

    while r-l > 1:
        mid = l + (r-l) // 2;

        if arr[mid] <= target:
            l = mid
        else: 
            r = mid

    return l

• 返回值

l: 当target存在时返回其最右位置；当target不存在时，返回小 于它的元素的最右位置；则l+1为其可插入位置。

• 终止条件

由于本例中l，r的更新取决于mid本身的值，故当r-l<=1时，l，r就不再更新；而当r-l==1时，已对数组中所有元素做出了判断，可退出循环。

二、相关问题

     更新一些相关问题，包括但不限于leetcode中的问题。长期更新。

2.1 sqrt(x)

     题目来自leetcode-69，计算并返回x的平方根，其中x保证为非负整数。由于返回类型是整数，因此将仅返回结果的整数部分。

• Solution

思路：设sqrtX为x的开方，则sqrtX = x / sqrtX。非负整数x的开方sqrtX必然在[0,x]之间，故考虑用二分查找法。

C++

int mySqrt(int x)
{
    if (x == 0)  //由于0不能做被除数，首先判断x是否为0
        return 0;

    int l = 1, r = x;

    while (r - l > 1)
    {
        int mid = l + (r - l) / 2;
        int sqrtX = x / mid;

        if (mid == sqrtX)
            return mid;
        else if (mid > sqrtX)
            r = mid;
        else
            l = mid;
    }
    return l;
}

python

注意与C++实现的循环终止条件不同，则返回值也不同

def mySqrt(self, x):
    if x == 0:
        return 0;

    l = 1; r = x

    while l <= r:
        mid = l + (r - l) // 2
        sqrt_x = x // mid

        if mid == sqrt_x:
            return mid;
        if mid > sqrt_x:
            r = mid - 1
        else:
            l = mid + 1

    return r

2.2