NJUPT《 大学物理 (下) 》

一、考前复习

【1/3 题型说明】

单选题 12 道，每道 3 分，共 36 分；
填空题 8 道，每道 3 分，共 24 分；
计算题 6 道，共 40 分。

【2/3 往年真题】

【3/3 知识点总结】

• 振动（上）

• 振动（下）

• 机械波

• 衍射

• 干涉

• 偏振

• 狭义相对论

• 量子物理

三、学习笔记

第九章 振动

• 简谐振动

① F = -kx
② a = d²x/dt² = -ω²x
③ x = Acos(ωt+φ)
振幅：A
初相位：φ
周期：T = 2π/ω = 2π√ m/k
频率：v = 1/T = ω/2π = √k/m 1/2π
弹簧系数 k = mω²
最大速度 v' = Aω
最大加速度 a' = Aω²
ω = √k/m
A = √x₀² + (v₀/ω)²
tanφ = -v₀ / ωx₀
v = -ωAsin(ωt+φ)
a = -ω²Acos(ωt+φ)

• 旋转矢量

A）矢量模等于振幅 A
逆时针方向匀速转动
角速度等于角频率 ω
与 Ox 轴的夹角为 φ
在 Ox 轴上的投影为 x = Acos(ωt+φ)
B）相位差 Δφ = φ₂ - φ₁，| Δφ | ≤ π
若 Δφ ＞ 0，则 x₂ 振动超前 x₁ 振动
若 Δφ ＜ 0，则 x₁ 振动超前 x₂ 振动

• 单摆，复摆

• 简谐振动的能量

系统动能：Ek = 1/2 mv² = 1/2 mω²A²sin²(ωt+φ）
弹性势能：Ep = 1/2 kx² = 1/2 kA²cos²(ωt+φ）
总能量：E = Ek+Ep = 1/2 mω²A² = 1/2 kA²

• 简谐振动的合成

A）两个同方向同频率

B）两个相互垂直同频率

C）两个同方向不同频率
① 拍：频率大而频率差小的两个同方向简谐振动，其合振动振幅时强时弱的现象

② 合振动方程：x = (2A cos2π(v₂ - v₁)t/2) cos2π(v₂ + v₁)t/2

拍频：v = 1/T = v₂ - v₁

• 电磁振动

A）振荡电路，无阻尼电磁振荡
在只有电容，电感组成的 LC 电路中：
① 电荷和电流、电场和磁场随时间作周期性变化的现象，叫做电磁振荡
② 如果电路没有任何能量耗散，这种电磁振荡叫做无阻尼电磁振荡
B）无阻尼电磁振荡的振荡方程
q = Q₀ cos (ωt + φ)
i = -ωQ₀ sin (ωt + φ) = I₀ cos (ωt + φ + π/2)
q 为任一时刻极板电荷，i 为任一时刻极板电流，Q₀ 为电荷振幅，I₀ 为电流振幅
ωQ₀ = I₀
d²q / dt² = -q / LC = -qω²
v = ω / 2π = 1 / 2π√ LC
C）无阻尼电磁振荡的能量
电容器：We = q² / 2C = Q₀²/2C cos² (ωt + φ)
自感线圈：Wm = Li² / 2 = LI₀²/2 sin² (ωt + φ)
总能量：W = We +Wm = Q₀²/2C = LI₀²/2

第十章 波动

• 机械波

A）形成
机械振动在弹性介质 (固体、液体、气体) 内传播形成了机械波
B）分类
① 横波：弹性介质上各部分质元上下振动，方向与机械波垂直的波
固体会产生切变，所以横波能在固体内传播
② 纵波：弹性介质上各部分质元左右振动，方向与机械波平行的波
固体、液体、气体会产生体变，所以纵波能在固体、液体、气体内传播
C）概念
波长：沿传播方向相位差为 2π 的振动质元的距离，即一个波形的长度
周期：前进一个波形所需的时间，用 T 表示
频率：周期的倒数，用 v 表示
波速：单位时间内传播的距离，用 u 表示
① 周期、频率、能量由波源决定，波速由介质决定
所以同一频率 / 周期的波，波长由介质决定
② 固体内传播
横波：u = √ G/ρ
纵波：u = √ E/ρ = √ K/ρ
G 为切变模量，E 为弹性模量，K 为体积模量，ρ 为密度
③ 波线：传播方向画有箭头的线
波面：不同波线上相位相同处围成的曲面
波前：波源最初状态传到各点连成的曲面

• 平面简谐波

波函数：y = Acos [ ω (t - (x-x₀)/u) + φ ]，x₀ 为距原点距离
正方向：y = Acos (ωt - kx) = Acos2π ( t/T - x/λ )
负方向：y = Acos (ωt + kx) = Acos2π ( t/T + x/λ )
ω = 2π / T
ω / u = 2π / λ
u = λ / T = λ v = ω / k
Δφ = Δt 2π/T = Δx 2π/λ

• 波动能量，能流密度

A）波动能量
波的能量密度 w = ρA²ω²sin²ω (t - x/u)
平均能量密度 w‘ = 1/2 ρA²ω²
B）能流，能流密度
能流 P = wuS
平均能流 P' = w'uS
能流密度 I = P'/S = w'u = 1/2 ρA²ω²u

• 惠更斯原理，波的叠加与干涉

① 波的叠加
a）多个波相遇后仍保持原有特征（频率、波长、振幅、振动方向）
b）相遇区域振动为各个波单独存在时振动位移的矢量和
② 波的干涉
频率相同、方向平行、相位差恒定的两列波相遇，
某些地方振动加强，另一些地方振动减弱的现象。

• 驻波

A）驻波产生
驻波是由振幅、频率、速度都相同的两列相干波，
在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的一种特殊形式的干涉现象
B）驻波方程
y = 2A cos(2π x/λ) cos(2π vt)
波节：与横坐标的交点，cos(2π x/λ) = 0，即 2π x/λ = (2k + 1) π/2
波腹：振幅最大的点，| cos(2π x/λ) | = 1，即 2π x/λ = kπ

• 多普勒效应

v' = (u + uB) / (u - uS) * v0
v'：接收的频率 ，v0：波的频率
uB：观察者速度 ，uS：波源速度 ，u：介质速度
观察者与波源远离时 uB、uS 取负，观察者与波源靠近时 uB、uS 取正

• 平面电磁波

能流密度矢量 S = E × H
平均能流密度 S' = E₀ × H₀ / 2

第十一章 光学

• 相干光

获得相干光的方法：① 分波阵面法 ② 分振幅法

• 杨氏双缝干涉

L = n · r
( 光程 = 折射率 · 几何路程 )
Δ φ = 2π · δ / λ

( 相位差 = 2π · 光程差 / 波长 )

• 薄膜干涉

A）干涉条件
Δr = 2d √(n₂² - n₁² sin² i) + λ/2 = k λ，k = 1, 2, ... (加强)
Δr = 2d √(n₂² - n₁² sin² i) + λ/2 = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ... (减弱)
① 当光垂直入射，即 i = 0 时
Δr = 2d n₂ + λ/2 = k λ，k = 1, 2, ... (加强)
Δr = 2d n₂ + λ/2 = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ... (减弱)
② 使用透镜不会引起附加的光程差
B）增透膜：减少反射光强度、增加透射光强度的薄膜
增反膜：增加反射光强度、减少透射光强度的薄膜

• 劈尖，牛顿环，迈克耳孙干涉仪

① 劈尖
干涉极大 (明纹中心) 条件：Δt = k λ，k = 1, 2, ...
干涉极小 (暗纹中心) 条件：Δr = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ...
等厚干涉：厚度相等的地方干涉条纹亮度相同的现象
② 牛顿环
明环半径：r = √ Rλ (k - 1/2)，k = 1, 2, ...
暗环半径：r = √ Rλ k，k = 0, 1, 2, ...
③ 迈克耳孙干涉仪
Δd = Δn λ/2
λ：入射单色光波长
Δd：平面反射镜移动距离
Δn：视场中移过的条纹数目

• 光的衍射

① 光的衍射
光在传播中遇到障碍物 (尺寸比波长稍大) 时，
其在障碍物阴影区形成明暗变化的光强分布的现象
② 惠更斯 - 菲涅尔原理
从同一波面上各点发出的各子波是相干波，
其传播到某一点相干叠加的结果决定了该处的波振幅

③ 菲涅尔衍射，夫琅禾费衍射

• 夫琅禾费衍射

1）单缝衍射
① 单缝衍射
平行光垂直照射宽度与波长比拟的狭缝，会绕过缝边缘
向阴影区衍射，经透镜 L 聚到焦平面处的平面 P 形成衍射条纹
b sinθ = ± k λ/2，k = 1, 2, 3 ...
b 为单缝宽度、θ 为衍射角、λ 为单色光波长
② 数学公式
暗条纹：bsinθ = ±k λ，k=1, 2, 3 ...
明条纹：bsinθ = ±(2k+1) λ/2，k=1, 2, 3 ...
一级暗纹距中心的距离：x1 = λf/b
任意两条暗纹的距离：Δx = λf/b
中央明纹的宽度：Δx0 = 2λf/b
2）圆孔衍射
单色平行光垂直照射小圆孔，在透镜 L 焦平面处的屏幕 P
上出现中央为亮斑（艾里斑），周围为明暗交替的环形衍射图
θ₀ = 1.22 λ/D = h / L
D 为圆孔直径、θ₀ 为最小分辨角、1/θ 为分辨本领
λ 为单色光波长、h 为可分辨高度、L 为可分辨距离

• 衍射光栅

1）平行光栅
平行排列的许多等间距、等宽度的狭缝构成了透射式平面衍射光栅
2）光栅方程
d sinθ = ± k λ，k = 1, 2, 3 ...
d = b+b' 为光栅常量、b 为透光宽度、b' 为不透光宽度、θ 为衍射角
3）缺级公式
d / b = k / k'，k = 0、1、2、3 ...，k' = 1、2、3 ...
4）中央明带条纹数：2d/b - 1

四、思维导图