【OpenCV 完整例程】77. OpenCV 实现快速傅里叶变换

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傅里叶变换在理论上需要 $O(MN{)}^2$ 次运算，非常耗时；快速傅里叶变换只需要 $O(MNlog(MN))$ 次运算就可以完成。

OpenCV 中的傅里叶变换函数 cv.dft() 对于行数和列数都可以分解为 $2^p\ast 3^q\ast 5^r$ 的矩阵的计算性能最好。为了提高运算性能，可以对原矩阵的右侧和下方补 0，以满足该分解条件。OpenCV 中的

cv.getOptimalDFTSize() 函数可以实现图像的最优 DFT 尺寸扩充，适用于 cv.dft() 和 np.fft.fft2()。

函数说明：

	cv.getOptimalDFTSize(versize) → retval

参数说明：

• versize：数组大小
• retval：DFT 扩充的最优数组大小

使用 OpenCV 中的 cv.dft() 函数也可以实现图像的傅里叶变换，cv.idft() 函数实现图像傅里叶逆变换。

函数说明：

	cv.dft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst
	cv.idft(src[, dst[, flags[, nonzeroRows]]]) → dst

参数说明：

• src：输入图像，单通道灰度图像，使用 np.float32 格式
• dst：输出图像，图像大小与 src 相同，数据类型由 flag 决定
• flag：转换标识符
  • cv.DFT_INVERSE：用一维或二维逆变换取代默认的正向变换
  • cv.DFT_SCALE：缩放比例标识，根据元素数量求出缩放结果，常与DFT_INVERSE搭配使用
  • cv.DFT_ROWS: 对输入矩阵的每行进行正向或反向的傅里叶变换，常用于三维或高维变换等复杂操作
  • cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT：对一维或二维实数数组进行正向变换，默认方法，结果是由 2个通道表示的复数阵列，第一通道是实数部分，第二通道是虚数部分
  • cv.DFT_REAL_OUTPUT：对一维或二维复数数组进行逆变换，结果通常是一个尺寸相同的复数矩阵

注意事项：

1. 输入图像 src 是 np.float32 格式，如图像使用 np.uint8 格式则必须先转换 np.float32 格式。
2. 默认方法 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，输入 src 是 np.float32 格式的单通道二维数组，输出 dst 是 2个通道的二维数组，第一通道 dft[:,:,0] 是实数部分，第二通道 dft[:,:,1] 是虚数部分。
3. 不能直接用于显示图像。可以使用 cv.magnitude() 函数将傅里叶变换的结果转换到灰度 [0,255]。
4. idft(src, dst, flags) 等价于 dft(src, dst, flags=DFT_INVERSE)。
5. OpenCV 实现傅里叶变换，计算速度比 Numpy 更快。

转换标识符为 cv.DFT_COMPLEX_OUTPUT 时，cv.dft() 函数的输出是 2个通道的二维数组，使用 cv.magnitude() 函数可以实现计算二维矢量的幅值 。

例程 8.12：OpenCV 快速傅里叶变换

    # 8.12：OpenCV 快速傅里叶变换
    imgGray = cv2.imread("../images/Fig0429a.tif", flags=0)  # flags=0 读取为灰度图像
    rows,cols = imgGray.shape[:2]  # 图像的行(高度)/列(宽度)

    # 快速傅里叶变换(要对原始图像进行矩阵扩充)
    rPad = cv2.getOptimalDFTSize(rows)  # 最优 DFT 扩充尺寸
    cPad = cv2.getOptimalDFTSize(cols)  # 用于快速傅里叶变换
    imgEx = np.zeros((rPad,cPad,2),np.float32)  # 对原始图像进行边缘扩充
    imgEx[:rows,:cols,0] = imgGray  # 边缘扩充，下侧和右侧补0
    dftImgEx = cv2.dft(imgEx, cv2.DFT_COMPLEX_OUTPUT)  # 快速傅里叶变换

    # 傅里叶逆变换
    idftImg = cv2.idft(dftImgEx)  # 逆傅里叶变换
    idftMag = cv2.magnitude(idftImg[:,:,0], idftImg[:,:,1])  # 逆傅里叶变换幅值

    # 矩阵裁剪，得到恢复图像
    idftMagNorm = np.uint8(cv2.normalize(idftMag, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX))  # 归一化为 [0,255]
    imgRebuild = np.copy(idftMagNorm[:rows, :cols])

    print("max(imgGray-imgRebuild) = ", np.max(imgGray-imgRebuild))
    print("imgGray:{}, dftImg:{}, idftImg:{}, imgRebuild:{}".
          format(imgGray.shape, dftImgEx.shape, idftImg.shape, imgRebuild.shape))

    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(131), plt.title("Original image"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgGray, cmap='gray')
    plt.subplot(132), plt.title("Log-trans of DFT amp"), plt.axis('off')
    dftAmp = cv2.magnitude(dftImgEx[:,:,0], dftImgEx[:,:,1])  # 幅度谱，中心化
    dftAmpLog = np.log(1 + dftAmp)  # 幅度谱对数变换，以便于显示
    plt.imshow(cv2.normalize(dftAmpLog, None, 0, 255, cv2.NORM_MINMAX), cmap='gray')
    plt.subplot(133), plt.title("Rebuild image with IDFT"), plt.axis('off')
    plt.imshow(imgRebuild, cmap='gray')
    plt.tight_layout()
    plt.show()

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（本节完）

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Crated：2022-1-20

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