RSA算法过程以及正确性证明

一、生成公钥、私钥

1. 寻找两个不相同的大质数
   随意寻找两个不相同的大质数，计算
2. 求 N 的欧拉函数值
   
   欧拉函数的定义：
   是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的数目。（第一次见的话肯定会觉得很奇怪，怎么还会有这么奇怪的函数(^_^)）
3. 计算私钥中最重要的 d
   选择一个小于，并与互质的整数 e，通常取65537，求得 e 关于的模反元素 d，
   模反元素的定义：
   如果两个正整数 a 和 n 互质，那么一定可以找到整数 b，使得。（前式等价于，由贝祖定理易知，整数 b 一定存在）
4. 销毁
   此时我们的是公钥，是私钥。

RSA算法的安全性：已知，是否容易得到 d

1. 要想知道 d，就要知道
2. 要想知道，就要根据 N 算出，而大数的质数分解是目前公认的数学难题，只能暴力求解。

二、加密、解密

1. 使用公钥加密， 假设明文为，则密文。
2. 使用私钥解密，则明文。

三、正确性证明（证明过程使用到欧拉定理）

证明 m 经加解密后还是 m，即证明等式

1. 明文 m 与 N 互质
   
   
   
   
   
   
2. 明文 m 不与 N 互质
   m 不与 N 互质，，都为质数。则一定有
   
   
   
   
   
   
   即
   易知，即，即
   显然互质，
   
   
   即
   故，得证！
   证明部分参考的博客