数据结构--排序之堆排序

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堆排序基本思想及其代码实现

堆排序（Heapsort）是指利用堆这种数据结构所设计的一种排序算法。堆积是一个近似完全二叉树的结构，并同时满足堆积的性质：即子结点的键值或索引总是小于（或者大于）它的父节点。

前面我们已经学过了堆的各种实现，现在我们要基于堆的各种操作来实现一个堆排序。
假设我们排的是升序，基于前面TopK的思想，我们可以先建一个小堆，然后取堆顶，然后删除堆顶，调堆，一直重复这样下去，Popn次就可以得到最终结果。
代码实现:

void HeapSort(int* a, int n)
{
	HP hp;
	HeapInit(&hp);
	// 建一个N个数的小堆
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		HeapPush(&hp, a[i]);
	}
	// Pop N 次
	for (int i = 0; i < n; ++i)
	{
		a[i] = HeapTop(&hp);
		HeapPop(&hp);
	}
	HeapDestroy(&hp);
}

各种接口的细节->数据结构—二叉树、堆
这样实现确实可以，没毛病，但如果你要排一个非常大的数组，就要消耗很多的空间，能不能想一个方法把空间复杂度优化到O(1)。
我们可以直接在原数组上进行操作，这样就不用消耗额外的空间。
首先，我们先把数组调整成一个小堆

//法一:向上调整
for(i = 1;i < n;i++)
{
	AdjustUp(a,i);
}
//法二:向下调整
for (i = (n - 1 - 1)/2; i >= 0; i--)
{
	AdjustDown(a,n,i);
}

:向下调整的使用前提是:根结点的左右子树都为小堆，所以向下调整需要做一些改变，我们从倒数第一个非叶子结点的子树开始调小堆。

调成小堆后，堆顶元素就是最小的，接下来我们就是选出次小的数，选出次小的数我们需要把剩下的结点重新建成一个小堆，这个时候问题就来了，建一个堆的时间复杂度为O(N)要建N次，时间复杂度为O($N^2$)，那我们这个排序的效率就太低了，体现不出它的优势。

那我们换种思路，如果我们建大堆呢？我们可以利用删除堆顶元素的思想，每次调成大堆后就与最后一个元素进行交换，这样最大的数就放在了最后一个，然后再次调堆，把次大的数放在倒数第二个…一直这样下去。
上述过程用动图演示:

void HeapSort(int* a, int n)
{
	// O(N)
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(a, n, i);
	}
	// 依次选数，调堆
	// O(N*logN)
	for (int end = n - 1; end > 0; end--)
	{
		Swap(&a[end], &a[0]);

		// 再调堆，选出次小的数
		AdjustDown(a, end, 0);
	}
}

堆排序的时间复杂度为O(n$lo{g}_{2}n$)

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