1实验的重要性
在伽利略之前，人们以为当大炮一仰角发射炮弹离开炮口时，先以直线进行再以圆弧路径行进一段，然后垂直落至地面。只有想象中完美的直线和圆弧与运动有关。而伽利略证明炮弹到达目标前的行进路线是一条平滑的抛物线。伽利略在军事方面很早就建立了声誉。哲学家与神学家对完美有什么意见，战场上的军队没有时间争论哪一种圆弧运动比较称心合意，他们只想知道往哪个方向瞄准才可以达到最佳攻击效果，而伽利略就告诉了他们答案。
牛顿在他的著作《自然哲学的数学原理》。书中的概念，是他二十年前就开始构思的。牛顿着重于将理论和模型与真实世界中的实验与观察作比较，他总会亲自试验以印证自己的想法。实验早已根深蒂固的成为当代科学方法的一部分，所以今天的科学家甚至非科学家认为这是理所当然的事儿。我们很难想象即使进入十七世纪许多哲学家依旧以抽象的方式猜测物理世界的本质，而不愿意弄脏手去做实验。举一个典型的争论为例，两个不同重量的物体在同一高度和同一时间落下，是否会同时着地呢？
牛顿早在写原理之前。他就研究出所谓微积分的技巧，而用微积分的技巧，完成了这项证明就非常简单。牛顿事实上先用微积分解决了这个问题，然后再大费周折地用传统术语把这些步骤解释一遍让其他科学家了解。莱布尼茨得到了微积分概念的时间晚于牛顿，但他很明智的立即发表。
牛顿和莱布尼兹似乎驯服了时间使得我们可以准确地描述运动物体的行为。
2麦克斯韦方程式
该方程描述了发电机和电动机的运作方式解释了，为什么罗盘的指针指向北方以及两个带电物体在某个距离下的作用力。麦克斯韦方程最妙的一点是它自动地产生了一个对光的描述。光以定速进行。不因观测者的运动而有所不同。引导了爱因斯坦在1905年发表了狭义相对论，并于十年后扩展为广义相对论。
这个方程式也有他们的极限，尤其是对于极小尺度下的事件，例如对原子及其组成粒子的行为描述了这个尺度下麦克斯韦对电磁作用的描述与牛顿对粒子的描述都必须由量子力学来主导修正。
自然律来自于真实世界中对物体的观察就像观察到苹果永远从树上往下掉，而不是往上裸露到地面。
3热力学
傅立叶找到一个简单的数学定律来描述热传递。热的传递效应与温度效应温度成正比时热由较热的一端流向较冷的一端。这个简单的定律，在热力学的地位，正如伽利略发现自由落体加速度定律，对引力学发展的重要性一样。和万有引力定律一样傅立叶的定律，也是普遍适用的，而不单适用于固体也适用于液体和气体。那不论物体是由什么物质构成都成立。
英国的焦耳做了一个漂亮的实验，精确的测量出定量的水升高一定温度所需要的功，同时代德国科学家赫尔姆霍兹也做了类似试验导致能量守恒观念的产生，也就是说能量无法被产生或消灭只能由一种形式转换成另一种。马拉车来自于他们吃的稻草稻草提供在肌肉中和氧结合产生的化学染料而稻草中以化学形态存在的能量最终来自于太阳。能量守恒定律也称为热力学第一定律他宣称在封闭系统里能量总是守恒的。但是如果我们所见。在制造炮管儿的过程中没有完美的功和能的转换热会付产品的姿态出现，所以某些能量会在转换过程中流失。由于热总是由高温流向低温。热力学第二定律，最终一个封闭系统中所有能量将转换成热而温度的差别会消退形成一个平淡无趣的状态。
4混沌与有序
在宇宙的任何地方有序都会出现在一小块区域，而这总是借着其他区域产生更多的无序来达成。在宏观的尺度上宇宙已不可逆的方式运作，你永远不能把事物变回过去的状态。稍稍偏离平衡状态，就能由混沌中产生有序。最终的平衡状态，也就是能量最低的状态称为吸引子，因为整个系统的运行方式，宛如被吸到了这个状态，一旦达到了这个状态，我们将无法分辨系统是如何变成这样的并没有任何记录显示系统如何进入最终的平衡状态。
用热力学的语言来说，当系统达到平衡状态时就会忘记自己的初始状态，唯有他当下的状态，才有意义。
事实上，世界上没有孤立的系统除勒整个宇宙也没有系统是处于完美的平衡状态，他可以很接近平衡，只要等的够久，要多接近就多接近，但永远达不到所谓完美的平衡。
只要稍稍偏离平衡状态，就能由混沌中产生秩序在平衡状态之外，适当情况下能量的流动，会自发性地创造出秩序来这对我们自身的存在是极重要的思维，因为无可否认的我们是有秩序的生物，同时有太多的证据显示宇宙起始于一个没有什么秩序可言的状态。
如同牛顿之后的物理学家，首先专注于利用牛顿的公式与运动定律解决，可处理的简单问题。因为他们最容易解答热力学家，先是专注于平衡系统发展出一些定律和公式，例如热力学，第二定律来描述他们经由这条途径得以概率的形式发展了，并了解热力学，并且将其研究范围延伸至统计力学。
如果想看到一个火柴盒大小容器内的气体通东聚到一边。你得等上比宇宙年龄还要长的多的时间。
在整个宇宙中时间的两个方向是没有差别的正如同在空间中无所谓上与下，但如同在地球上，我们会称朝向地心的方向为下，在某一特定时间里生命体可以定义时间的方向为由比较不恰当的地方向比较恰当的地方流去，前者成为过去，后者成为未来。借此可以认定我们所处独立于其他宇宙的一小部分。
我们所看到的宇宙只是在可能热线平淡一致的更大宇宙中众多扩张的泡泡之一。可以作为一个警惕。
就好比洗一副扑克牌，不论起始状态为何，洗了一次牌的顺序会改变，但如果你不断的洗牌，而且洗牌会产生真正随机地改变，总有一天所有的牌会回到原始顺序。这些可能发生的状态会循环的发生，其重复周期称为庞加莱重现时间或者庞加莱循环时间。
这个世界压根不是决定式的，在描述或计算宏观世界的行为时都必须将概率和不确定性纳入考量，但科学家逐渐地习惯了这种思维而后世的科学家都被教育成认为这是自然的，甚至理所当然。
5问题太阳系的系统稳定吗?
庞加莱接受了这个论证的挑战。
最早的关键性贡献是爱尔兰数学家威廉哈密尔顿。他提出了相空间。
我们这个观念引进一个代表某个粒子所有可能动量的想象空间，因为动量和速度成正比，而速度是三维的，所以在这样的速度空间中的一点代表了一个粒子，在三个相互垂直方向的相对速率。
我们可以想象相空间是一块充满弯曲山谷深深洞穴大小山丘的景观，哈密尔顿的模型使得数学家能以一般的方式分析系统随时间产生的变化，而无需解大量的个别微分方程式。
想象一下如果将水倒在相空间景观上，它将沿着山谷流动花较多的时间流过大山谷，花较少的时间越过小缺口，它会从山顶流下汇集于坑洞，哈密尔顿式的模型让我们清楚真实系统是如何穿越于相空间中，并标示出他们会被吸引的地区深谷和坑洞，我们甚至可以将类比延伸加入蒸发和降雨，表示将粒子从河流被带到山顶然后再回到原处。这样罕见的路径，单一粒子在相空间的运动过程他的轨迹代表整个系统随时间变化的方式而这粒子在部分相空间中所带的时间与那部分相空间的大小成正比。他极其可能遵循某个轨迹在相空间中移动正如同我们的水分子除了待在河中，没有太多其他选择只有极微小的机会，他将沿着人迹罕至的轨迹，登上山顶，再往下落。
将相空间看成高山深谷等的想法是拓扑学中常见的方法。
没有任何事是理所当然的。
庞加莱最伟大的简化过程是只关注相空间中的一小部分，事实上是相空间的一个切面，他代表所探索的轨迹必须经过的地方也称为庞加莱切面。如果某一轨迹在相空间中有庞加莱切面上的一点出发，并且又回到该点，那么不论在其间系统是多么复杂。你可以确定他是周期性的。
庞加莱在修正他的论文时候，出乎他自己意料之外，他改正错误时他发觉自己的新方法证明了，即使对简化三体运动中粒子的轨道而言相对应的级数大多时候是发散的，不稳定是常态，而永久稳定的轨道则是例外。以他的新的几何方法来看，虽然相空间中存在一些会回到庞加莱切面同一处的周期性轨道，但如果两次交汇处有些许差别，整个系统可能有完全不同的性质，使得遵循完全不同的路径，而不会在庞加莱切面的同一处交汇。与庞加莱切面的交点，可能有无穷多式的相控阵的轨迹可以无限复杂的游荡而永远不回到出发点。
我们能学到最重要的概念是在某些状况下，（不是所有状况，但也不见得是罕见的状况）有几乎相同状态发出发展出的系统可以很快的演变出完全不同的结果。
有两个不错的方式有助于我们感受这种现象，第一种是回到前面将相空间一水流过景观的类比一个水分子，它的运行轨迹代表整个系统状态的变化，不论简单，如简化的三体问题，我复杂的纳入到整个宇宙想象有一条很宽广的河流，流过景观，它代表了系统在哈密尔顿模型中很可能出现的区域。在某一处河流分支成许多交错复杂的小河道形成类似横河口的三角洲一个水分子可能随着河流流入左边的一条小河道。而与他相邻的分子流向右边肋条河道，因此他们遵循大小大不相同的路径，换言之在相空间中代表几乎相同状态，而曾经长久相伴随的两条轨迹。也可能分裂为差异颇大的状态，同样的像一颗落在陡峭山巅的水滴，如果他落在山顶的一侧，它将有一个方向流向代表系统吸引子的大海，如果他落在山的另一侧将会流入另一个代表吸引子的海洋，这两条导向不同，最终状态的轨迹其实是可能无限的接近。
另一个与我们的世界有关的例子也有注，说明。日常生活中大多数变化都呈线性发展，例如举起一袋两千克重的糖要比举起一千克重的糖，花生凉被利器。假设走路是非线性过程，所以当你迈出最重要的第一步之后每跨出一步会让你的移动距离是上一部的两倍。第一步让你移动一米在这样非线性的条件下，第十一步你就移动了一千零二十四米。非线性系统由最初使状态出发后变化的很快，如果两条轨迹以非线性方式由相空间中出发，他们的方向有些许差异，其分歧的速度也将很快，庞加莱发现许多真实世界中的系统对其初始状态十分敏感。如同落下山巅的雨滴，而且是以非线性的方式变化。
这里的重点是我们对这种系统的预测能力将受限制。
对于非线性系统一个初始状态的小错误，经过计算过程将造成结果的巨大误差现行系统有点类似将其每一部分加总。信息都可以远大于或者远小于这样的加总。在某些状况下，我们将无法计算系统随时间产生的变化，因为我们对初始状态的信息不够准确。他在1908年的《科学方法》中写道，如果一个我们没有注意到的细节造成了显著差异的结果，我们说它是随机产生的。
如果我们知道所有自然定律以及宇宙开始时的确切状态，我们将能预测这个宇宙接下来的变化情形。但即便自然定律对我们不再是秘密，我们还是只能近似的，估计他的初始状态，如果这样可以让我们以这个近似值预测接下来发生的情况，我们会说我们成功的预测了，发生的现象，我们遵循自然定律，但并非经常如此，有时初始条件的微小差异将造成最终现象的极大改变前者的小误差会造成后者极大的错误，预测将成为不可能的事，我们面对的是偶发现象。
换句话说，虽然拉普拉斯原则上是对的，但他的决定式宇宙实际上无法预测无论对未来和过去都是如此。这样的困扰，通常发生在大气处于不稳定平衡的地区。
不稳定平衡，就像一支铅笔一笔尖维持平衡，庞加莱试图说明在这样的情况下，我们知道铅笔将倒下，但无法预测到的方向。气象学家很清楚这平衡是不稳定的，某个地方将产生龙卷风，但没有办法说出确切地点龙卷风会有某处窜起并大肆破坏的机会比较大，如果他们能分辨这一点点的差别，就能事先做判断，然而所有的观测机不够多，也不够准确，这就是为什么一切看来都是随机产生的。
另一个看来非常类似的法则。产生出对初始条件非常敏感的随机行为。他们广泛地运用于水龙头滴水模式或者野生动物的数量变化以及股市震荡上，但我们已找到混沌与复杂之下的简洁本质非线形性质的简单法则。对初始条件的敏感度及反馈策动了世界的运行。
7共振
当我们还是孩子的时候都经历使用过共振来荡秋千，共振时利用在恰当时机向某个系统朝他既定的方向施加作用，以取得更大的效应，我们在秋千上荡的时间必须拿捏准确才能是摆动的弧度愈来愈大。
假设某个小行星环绕太阳的时间恰好是木星的一半，那么这颗小行星会在轨道固定的地方被木星拉一下巨大木星的影响力会累积起来造成干扰，如同我们让秋千遇到预告的方式一般，如果就传统角度而言，这轨道是稳定的问题也不大，一个小小的扰动会使小行脱轨一点点，然后再恢复。但如果轨道对扰动很敏感，共振将使接近圆形的小行星轨道变成更接近椭圆但仍会在固定返回与木星的共振点，这就是温斯顿发现并于1982年发表的小行星带混沌作用，特别是针对已接近三比一轨道比例与木星共振的小行星。
地球今天的垂直倾角（以地球与太阳的直线为参考）大约是二十三度，就是造成四季变化的原因，但因为有月亮扮演稳定器的角色，才使得这个角度没有太大变化。火星更接近太阳的行星就不一样了，因为他们缺乏扮演稳定器的巨大卫星。火星倾角平均大约二十四度，但电脑模拟显示这个角度可能剧烈改变，至少正负二十度以上。同时有证据显示火星过去曾经剧烈的气候变化，在现在干燥不毛的红色行星表面上存在看似已经干枯的冲刷河床这些极端的气候变化可能发生在枣园的地理时期。当冰冻的极地转向太阳造成炎热的夏天高温足以使极地顶端被冰封的二氧化碳及水蒸给水蒸发或融化，或许相似的活动也曾在水星和金星上发生，但从他们的表面看不出迹象，因为水星没有大气层而金星表面似乎被强烈的火山活动翻了一遍。
就是地球能无忧无虑的维持稳定，但最终月亮江阴潮汐作用而逐渐远离地球它的影响力将减弱而地球倾角也将产生不规则变化，或许瞬间改变九十度，那么南极或北极的夏天将和现在的赤道一样炎热而另一即将处于黑暗酷寒的冬天，每隔六个月轮第一次这对我们目前所知的生命体相当不利，所以，虽然太阳系中的混沌可能促成了人类存在还得感谢月亮的存在，让地球倾角为产生混沌的作用，使得地球上的生命数十亿年之间得以在稳定的气候条件下进行，这个故事还有个情节。就目前所知，我们有这样大的卫星——月亮最佳解释是在太阳系形成早期有一个接近火星大小的小行星。因为混沌作用脱离小行星带撞上地球而建起的熔化物质在太空中形成月亮。
康托集合
虽然简单看起来还挺单调，对于混沌却具有相当关键的状性，首先康托集合是反馈产生的。如果我们先前所见，这是馄饨的关键，其次，它是自我类似的从迭代的第二个步骤开始，但是有四条线段，每一步骤中，康托集合都有两份先前的版本构成，尺寸是原来的三分之一，还有一件事也与康托集合有关，回头看看代表精油被装七通往混沌的分歧，图就在混沌发生时，在混沌出现前的最后一部分歧树状图的所有分支端点形成抗拓集合，这就暗示风险与混沌之间存在深层的关联，第一个在人类科技中出现的混沌例子。
曼德布对所有在时空中变化的现象与模式都极其感兴趣，包括文具十字的分布国家里大小城市的分布以及股市的起伏。
他进入ibm担任研究员不久就为公司解决了一个具有实际重要性的问题。
和现在一样，当时电脑中的信息要靠电话线传输，而那些可能毁掉极其重要，资料的偶发噪音干扰，总是让负责相关业务的工程师相当困扰，当我们在讲电话时噪音干扰并不是什么大问题，只要说的大声一点卧室再说一遍就好了，但在早期资料传送的过程中噪音干扰就会造成大灾难，通常工程师的第一反应是增加信号强度已盖过噪音干扰，但偶尔还是会出现一阵猛烈的噪音干扰随机毁掉部分资料。
他表示，既然噪音干扰，总是存在，无需浪费钱，加强信号，应当专注于锁定错误。然后重复传送信息的技巧。他也说，不必浪费时间寻找造成噪音干扰的物理原因，比方说电话线被树枝勾到，因为它们本质上是随机发生的应该把精力放在更有建设性的工作上，包括追踪不符合模式的噪音干扰来源，因为他们可能真的有某种物理原因造成。
曼德布找到了第一个在人类科技中出现的混沌例子。并一开始就将它与分形连接在一起，虽然当时混沌与分形这两个名词还未正式出现。现在浑沌理论告诉我们这一连串的区域性灾难必然发生于电力，网络上，但他无法告诉我们何时何处，只能给受害百姓一些小小的安慰。