【01背包问题】【题目收集】

1.dd爱科学

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/11211/C

一串字符串，要求必须不递减，可以对字母进行修改，修改代价为原字母和修改后字母的差距，求最小修改代价和

---

状态表示：

$f[i][j]$：前i个字母，第i个字母修改为j的最小代价

状态转移：
$f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][k]+abs(s[i-1]{-}^{\prime }{A}^{\prime }-j))$
因为可以从任意比j小的转移过来，所以对所有可以转移的情况取最小值

#include
using namespace std;
const int N = 2e5+5; 

int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	vector<vector<int>>f(n+1,vector<int>(26,1e9));
	string s;
	cin>>s;
	
	f[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<26;j++)
		{
//			f[i][j] = f[i-1][j] + abs(s[i-1]-'A'-j);
			for(int k=0;k<=j;k++)
				f[i][j] = min(f[i][j],f[i-1][k] + abs(s[i-1]-'A'-j));
		}
	}
	int res = 1e9;
	for(int i=0;i<26;i++)
		res = min(res,f[n][i]);
	cout<<res<<endl;
	return 0;
}

2. 九小时九个人九扇门

链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23106/A

数字根：一个数字的数字跟为该数字各个位数之和，对于这个结果 再对其各个位数求和，直到求出来的结果为一个数字，即小于10，最终得出的结果为初始数字的数字根。
有n个人，每个人都有一个数字，不同的人可以组合在一起。共标有1-9号数字的9扇门，只有数字跟和门上数字相等才能打开门，求开每种门的所有组合情况数。

数字根的几个性质

先对数字根分析：
对于两个数x和y,可以发现 x+y的数字根$=$·x的数字根+y的数字根
也就是说，数字根的计算顺序并不影响最终得出的数字根的结果

那么就可动态规划：
状态表示：
$f[i][j]$:前i个人，数字根为j的组合情况
状态转移：
count()函数是计算数字根的函数
不选中第i个人时：$f[i][j]=f[i-1][j]$ （注意要先转移所有的不选中的，再进行下面的操作）
选中第i个人时：$f[i][count(j+a[i])]+=f[i-1][j]$

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5+5,mod = 998244353;

ll a[N],f[N][10];
ll count(ll x)
{
	while(x>=10)
	{
		int cnt = 0;
		while(x)
		{
			cnt += x % 10;
			x /= 10;
		}
		x = cnt;
	}
	return x;
}

void solve()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) 
	{
		ll x;
		scanf("%lld",&x);
		a[i] = count(x);
	}
	//初始化
	for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0] = 1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=9;j++) f[i][j] = f[i-1][j];
		for(int j=0;j<=9;j++) f[i][count(j+a[i])] =(f[i][count(j+a[i])] + f[i-1][j]) % mod;
	}
	for(int i=1;i<=9;i++) printf("%lld ",f[n][i]);
}
int main()
{
	int t;
	t = 1;
	while(t--) solve();
 	return  0;
 } 

3.智乃买瓜

https://ac.nowcoder.com/acm/contest/23478/B

n个瓜，第i个瓜的重量为$w_i$，对于每个西瓜，可以选择买一个，买半个，或者不买，求买瓜重量为k=1,2,3,...,M时，总方案数

---

状态表示：
$f[i][j]$:前i个瓜，买了j重量的方案数
状态转移：
$f[i][j]=f[i-1][j-w_i]+f[i-1][j-\frac{w_i}{2}]+f[i-1][j]$

#include
using namespace std;
const int N = 1e3+5;
typedef pair<int,int> pii;
typedef long long ll;
ll mod = 1e9+7;


int f[N][N];
int a[N];

void solve()
{
	int n,m;
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	
	for(int i=0;i<=n;i++) f[i][0] = 1;
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<=m;j++)
		{
			f[i][j] = f[i-1][j];
			if(j>=a[i]) f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-a[i]]) % mod;
			if(j>=a[i]/2) f[i][j] =(f[i][j] + f[i-1][j-a[i]/2])%mod;
		}
	}
	
	for(int i=1;i<=m;i++) cout<<f[n][i]<<" ";
	
}

int main()
{
//	ios::sync_with_stdio(false);
//	cin.tie(0),cout.tie(0);
	int t;
//	cin>>t;
	t = 1;
	while(t--) solve();
	return 0;
 } 

4.爆炸的符卡洋洋洒洒

链接：
https://ac.nowcoder.com/acm/problem/230607

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转移时注意：
只能从j=0和f[i-1][j]值不为0（说明f[i-1][j]之前被计算过）开始转移

但是设置初始值为负无穷之后，这种情况就不需要刻意考虑了
下面是两种不同的写法

---

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 15002,mod = 1000000007;

ll f[1005][1005];
ll a[1005],b[1005];

void solve()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
	
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<k;j++)
			f[i][j] = f[i-1][j];

		for(int j=0;j<k;j++)
		{
		//因为j+a[i]是新生成的，不能和上一个循环写在一起
			if(f[i-1][j] || j==0)
				f[i][(j+a[i])%k] = max(f[i][(j+a[i])%k],f[i-1][j] + b[i]);
		}
	}
	if(f[n][0]) cout<<f[n][0]<<endl;
	else cout<<-1<<endl;
	
}

int main()
{
	int t;
//	scanf("%d",%t);
	t = 1;
//	cin>>t;
	while(t--) solve();
	return 0;
 } 

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

int main()
{
	int n,k;
	cin>>n>>k;
	vector<int>a(n+1), b(n+1);
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i]>>b[i];
	
	vector<vector<ll>>f(n+1,vector<ll>(k,-1e18));
	
	f[0][0] = 0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<k;j++)
	 	{
	 		f[i][j] = f[i-1][j];
	 		f[i][j] = max(f[i][j],f[i-1][(j-a[i]%k+k)%k]+b[i]);
		}
	
	if(f[n][0] <= 0) cout<<-1<<endl;
	else cout<<f[n][0]<<endl;
	return 0;
 }