仿射变换与齐次坐标系

仿射变换（Affine Transformation）和齐次坐标系（Homogeneous Coordinate)是计算机图形学中经常碰到的基本概念。这篇文章主要讲述什么是仿射变换和齐次坐标系，以及在图形系统中为什么要是用它们。不求全面，只为自己学习理解。

仿射变换其实是另外两种简单变换的叠加：一个是线性变换，一个是平移变换。统一平移变换和线性变换的一种变换我们起了个名字叫“仿射变换”。这个新的变换就不再单纯的是两个线性空间的映射了，而是变成了两个仿射空间的映射关系。为了更好地理解仿射变换，首先就要知道线性变换以及它的不足。在未说明的情况下，下面使用的是卡迪尔坐标系。

所谓线性变换是指两个线性空间的映射，一个变换

是线性变换，必须满足两个条件，也就是我们经常说的线性条件：

additivity

homogeneity

举个例子说明一下。建设

是一个二维绕原点旋转变换，

和

是旋转角度。我们知道“一次性旋转

度”和“先旋转

度再旋转

读”达到的效果是一样的；同样地，“一次性旋转

度”和“旋转

次u度”也是一张的。

线性变换可以用矩阵来表示。假设

是二维空间中的点，T是一线性变换，那么存在一个矩阵A，使得

。上面的旋转变换R，以及缩放S变换都有相应的变换矩阵

但是在卡迪尔坐标系中，平移变换却不能用矩阵来表示。一个平移变换T具有如下的形式

+

我们可以很容易地验证，平移变换T是不能写成两个矩阵乘积形式的。使用齐次坐标系很好的解决了这个问题(可能还有其它的原因)。齐次坐标系统其实是用高维坐标来表示一个低维的点，就好比我们用（x,1)来表示一个长度值一样，其实用一个x就可以了，但是用高一维的表示，在有的时候会带来便利。一个N维的卡迪尔坐标系中的一个点

，在齐次坐标系中有无数的N+1维点与之对应，这些点可以描述为

，

取不同的值，我们变得到齐次坐标系中不同的点。当把这些点映射到

平面（不改变

之间比例），我们又降维得到对应的卡迪尔坐标系中的点。在OpenGL中我们是用

(

)来表示一点三维的点，显然这个点与卡迪尔坐标系中的点

是一一对应的。在计算的过程中，会出现第四个分量不为

的情况，这时我们也总是同除以

使齐次坐标正规化。现在回来让我们看看使用齐次坐标时，对应的线性变换是什么形式。假设

是二维点对应的齐次坐标，与上面使用卡迪尔坐标系类似，我们可以得到相应的线性变换如旋转变换R和缩放变换S的矩阵表示：

容易验证,

的值并没有变化。但是使用齐次坐标后，平移操作便也可以使用矩阵来表示了（如下），平移量出现在变换矩阵的最右侧。

最后，我们给出仿射变换稍微正式点的定义。一个仿射变换T，可以表示成一个线性变换A后平移t：T(p)=Ap+t，其中p是待变换的点齐次坐标表示。T可以表示成如下的形式：

其中，表示线性变换；表示平移变换；右下角的数字可以进行整体缩放，当为1时，表示不进行整体缩放。

仿射变换之所以重要，另一个重要的原因是仿射变换后不改变点的共线/共面性，而且还保持比例，这对图形系统尤其重要。例如，根据这个性质，如果我们要变换一个三角形，只需要对三个定点v1,v2,v3进行变换T就可以了，对于原先边v1v2上的点，变换后一定还在边后T(v1)T(v2)上。

总结一下，仿射变换是线性变换后进行平移变换（其实也是齐次空间的线性变换），使用齐次坐标使得仿射变换可以以统一的矩阵形式进行表示。