矩阵分析学习笔记（三）-矩阵的分解

谱分解

设为阶方阵，。由于，因此也是的特征值。这样就存在，使得。若可对角化，即存在可逆，使，其中为的特征值。这时有。

设，则线性无关，也线性无关，且。

这样就有称为的谱分解，特征值也称为的谱。

若，则可记为，

其中有如下 性质：

由于实对称阵可对角化，因此实对称阵谱分解存在。不可对角化的方阵没有谱分解。

例：求的谱分解。

解：先求的特征值和特征向量。

，故可对角化，从而的谱分解一定存在。

对用特征向量为，

令，则可逆，且，

这样，有即为的谱分解。