概率论（三）：多维随机变量及其分布

二维随机变量

设是一个随机试验，它的样本空间是，设和是定义在上的随机变量，它们构成的向量称为二维随机向量或二维随机变量

假如是二维随机变量，对于任意实数二元函数：称为 二维随机变量的分布函数，或称为随机变量和的联合分布函数

随机点落在矩形区域的概率为

• 是变量和的不减函数：不变时，对于不变，同理。
• 且,,,
• ,，也就是说关于都右连续

类似地，如果二维随机变量所有可能取值是有限对或无限可列对，则称是离散型的随机变量，假如所有可能取的值为，我们称之为随机变量和的联合分布律,此时，又由概率定义知：

• 
  
  

假如对于随机变量的分布函数，存在非负函数使对于任意有，那么是连续型的二维随机变量，函数则是其概率密度，或说是随机变量的联合概率密度，根据有关定义，有：

• G是一个平面上的区域，则点落在内的概率为:
• 若在点连续，则：

边缘分布

对于二维随机变量来说，都有各自的分布函数，记作,并将之称为分别关于的边缘分布函数:,对于，同理。
易知对于离散型随机变量：
可求得的分布律：，即关于随机变量的边缘分布

对于连续型随机变量:,可求概率密度：,，此概率密度称为边缘概率密度

条件分布

设是二维离散型随机变量，对于固定的,若,则说：为在条件下随机变量的条件分布律

设是二维连续型随机变量，概率密度为,关于的边缘概率密度为,对于固定的,，则称:为在条件下的条件概率密度，进一步：为条件分布函数

若二维随机变量概率密度为,其中·为是平面上的有界区域，其面积为，则称随机变量在上服从均匀分布。

相互独立的随机变量

对于任意，假如有以下式子成立：，即，则说随机变量与是相互独立的，或者连续型随机变量对应等式成立时，离散型随机变量对应等式：成立时。

两个随机变量的函数的分布

分布

若是二维连续型随机变量且其概率密度为，则仍为连续型随机变量，概率密度为:

或
如果相互独立，那么,此公式亦称卷积公式

分布

若是二维连续型随机变量且其概率密度为，则仍为连续型随机变量，概率密度分别为：


如果相互独立,那么

及分布

相互独立，则：

推广到个相互独立的随机变量：