1. Logistic 分布和对率回归
监督学习的模型可以是概率模型或非概率模型，由条件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)或决 策函数(decision function)\(Y=f(\bm{X})\)表示，随具体学习方法而定。对具体的输入\(\bm{x}\)进行相应的输出预测并得到某个结果时，写作\(P(y|\bm{x})\)或\(y=f(\bm{x})\)。
我们这里的 Logistic 分类模型是概率模型，模型\(P(Y|\bm{X})\)表示给定随机向量\(\bm{X}\)下，分类标签\(Y\)的条件概率分布。这里我们只讨论二分类问题。后面我们介绍多层感知机的时候会介绍多分类问题。道理是一样的。
先介绍 Logistic 分布。
Logistic 的分布函数为：
该分布函数的图像为：
该函数以点\((u,1/2)\)中心对称，在中心附近增长速度较快，在两端增长速度较慢。
我们后面对于未归一化的数\(z\)，采用\(\text{sigmoid}\)函数
将其“压”在(0, 1)之间。这样就可以使\(z\)归一化，一般我们使归一化后的值表示置信度(belief)，可以理解成概率，但是与概率有着细微的差别，更体现 “属于××类的把握”的意思。
对于二分类，标签\(Y=0\)或\(Y=1\)，我们将\(P(Y=0|\bm{X}=\bm{x})\)和\(P(Y=1|\bm{X}=\bm{x})\)表示如下，也就定义了二项逻辑回归模型：
现在考察 Logistic 回归模型的特点，一个事件的几率(odds)是指该事件发生的概率与不发生的概率的比值。如果事件发生的概率是\(p\)，那么该事件的几率是\(p/(1-p)\)，该事件的对数几率(log odds，简称对率)或 logit 函数是
对 Logistic 回归而言，由式子\((1)\)和式子\((2)\)得到:
这玩意在统计学里面称之为“对率回归”，其实就是“Logistic regression 名称”的由来。这里的 Logistic 和“逻辑”没有任何关系，和对率才是有关系的。 可以看出，输出\(Y=1\)的对数几率是由输入\(\bm{x}\)的线性函数表示的模型，即 Logistic 回归模型。
2. Logistic 回归模型的参数估计
我们在《统计推断：极大似然估计、贝叶斯估计与方差偏差分解》)中说过，从概率模型的视角来看，机器模型学习的过程就是概率分布参数估计的过程，这里就是估计条件概率分布\(P(Y|\bm{X})\)的参数\(\bm{θ}\)。对于给定的训练数据集\(T=\{\{\bm{x}_1, y_1\},\{\bm{x}_2, y_2\}, \dots, \{\bm{x}_N, y_N\}\}\)，其中，\(\bm{x}_i∈\mathbb{R}^n\)，\(y_i∈\{0, 1\}\)，可以应用极大似然估计法估计模型参数，从而得到Logistic回归模型。
我们设\(P(Y=1|x)=π(\bm{x})\)，\(P(Y=0|\bm{x})=1-π(\bm{x})\)，很显然\(P(Y|\bm{x})\)服从一个伯努利分 布，不过这个伯努利分布很复杂，它的参数\(p\)是一个函数\(π(\bm{x})\)。我们这里采用一个抽象的观念，将函数\(π(\bm{x})\)看做一个整体，这样\(P(Y|\bm{x})\)服从二项分布，可以方便我们理解。我们的参数\(\bm{θ}=(w, b)\)，不过我们还是采用之前的技巧，将权值向量和输入向量加以扩充，直接记做\(\bm{θ}=\bm{w}\)。
这样，对于\(N\)个样本，定义似然函数：
因为函数比较复杂，我们采用数值优化进行求解。然而这个函数是非凸的， 如果直接用数值迭代算法作用于次函数，可能陷入局部最优解不能保证到收敛到全局最优解。我们为了将其变为负对数似然函数（想一想为什么要取负号），也就是一个凸函数，方便用梯度下降法、牛顿法进行求解：
配凑 \(1/N\)转换为关于数据经验分布期望的无偏估计 ，即\(\mathbb{E}_{\bm{x}\sim \hat{p}_{data}}\text{log}\space p_{model}(\bm{x}_i| \bm{\theta})\)而不改变目标函数的优化方向。
上面这个式子，就是我们在深度学习里面常用的交叉熵损失函数(cross entropy loss function)的特殊情况。（交叉熵损失函数一般是多分类，这里是二分类）。后面我们会学习，在深度学习领域中，我们用\(f(\cdot)\)表示神经网络对输入\(\bm{x}\)加以的 映射（这里没有激活函数，是线性的映射），\(f(\bm{x})\)就是输出的条件概率分布\(P(Y|\bm{X}=\bm{x})\)。 设类别总数为\(K\)，\(\bm{x}_i\)为第\(i\)个样本的特征向量(特征维度为\(D\))，\(f(\bm{x}_i)\)输出维度也为\(K\)。\(f(\bm{x}_i)_k\)表示\(P(y_k | \bm{x}_i)\)。因为是多分类，\(P(y_k | \bm{x}_i)\)的计算方法就不能通过\(\text{sigmoid}\)函数来得到了，取而代之是更通用的\(\text{softmax}\)函数。我们给定输入样本\(\bm{x}\)，设\(z_k=\sum_{j=1}^Dw_{zj}x_{j}\)，其中\(\textbf{W} ∈\mathbb{R}^{K\times D}\)神经网络的权重矩阵\(D\)为特征向量维度，\(K\)为类别总数。则我们有：
我们规定第\(i\)个样本的标签\(\bm{y}_i\)为\(K\)维one-hot向量。则交叉熵函数表述如下：
因为\(\bm{y}_i\)为 one-hot 向量，只有一个维度为 1，设这个维度为\(c\)（即表示类别\(c\)），则交叉熵函数可以化简为：
很明显，如果\(f(\bm{x}_i)_c\)越大，表示神经网络预测\(\bm{x}_i\)样本类别为第\(c\)类的概率越大，这也是目标函数优化的方向——即对于类别为\(c\)的样本\(\bm{x}_i\)，优化器尽量使样本\(\bm{x}_i\)被预测为第\(c\)类的概率更大。
如下为使用梯度下降法求解二分类逻辑回归问题：
import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# y_pred大小为(batch_size, 1)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
# 这里y是创建新的对象，这里将y变为(batch_size. 1)形式
y = y.reshape(-1, 1)
return -(y*torch.log(y_pred) + (1-y)*torch.log(1-y_pred)).sum()/y_pred.shape[0]
# 前向函数
def logistic_f(X, w):
z = torch.matmul(X, w).reshape(-1, 1)
return 1/(1+torch.exp(-z))
# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, f):
# 初始化计算图参数，注意：这里是创建新对象，非参数引用
w = torch.tensor(w, requires_grad=True)
X = torch.tensor(X)
y = torch.tensor(y)
for i in range(1, n_iter+1):
y_pred = f(X, w)
loss_v = loss_func(y_pred, y)
loss_v.backward()
with torch.no_grad():
w -= eta*w.grad
w.grad.zero_()
w_star = w.detach().numpy()
return w_star
# 本模型按照二分类架构设计
def LR(X, y, n_iter=200, eta=0.001, loss_func=cross_entropy, optimizer=gradient_descent):
# 初始化模型参数
# 我们使W和b融合，X后面添加一维
X = np.concatenate([X, np.ones([X.shape[0], 1])], axis=1)
w = np.zeros(X.shape[1], dtype=np.float64)
# 调用梯度下降法对函数进行优化
# 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们会介绍小批量法减少时间复杂度
w_star = optimizer(X, w, y, n_iter, eta, loss_func, logistic_f)
return w_star
if __name__ == '__main__':
# 数据矩阵，一共4个样本，每个样本特征维度为3
X = np.array([
[1, 5, 3],
[4, 5, 6],
[7, 1, 9],
[10, 1, 12]
], dtype=np.float64)
# 标签向量，注意要从0开始编码
y = np.array([1, 1, 0, 0], dtype=np.int64)
# 迭代次数
n_iter = 200
# 学习率
eta = 0.001
w = LR(X, y, n_iter, eta, cross_entropy, gradient_descent)
# 学得的权重,最后一维是偏置b
print(w)
最终学得的权重向量为（最后一维为偏置\(b\)）：
[-0.10717712 0.20524747 -0.06932763 0.01892475]
如下是多分类逻辑回归问题，我们需要将\(\text{sigmoid}\)函数修改为\(\text{softmax}\)函数，损失函数修改为更为通用的交叉熵函数，根据输出维度变化将权重向量修改为权重矩阵等。
import numpy as np
import random
import torch
# batch_size表示单批次用于参数估计的样本个数
# n_feature为特征向量维度
# n_class为类别个数
# y_pred大小为(batch_size, n_class)
# y大小为(batch_size, )，为类别型变量
def cross_entropy(y_pred, y):
# 这里y是创建新的对象，这里将y变为(batch_size. 1)形式
y = y.reshape(-1, 1)
return -torch.log(torch.gather(y_pred, 1, y)).sum()/ y_pred.shape[0]
# 前向函数，注意，这里的sigmoid改为多分类的softmax函数
def logistic_f(X, W):
z = torch.matmul(X, W)
return torch.exp(z)/torch.exp(z).sum()
# 之前实现的梯度下降法，做了一些小修改
def gradient_descent(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, f):
# 初始化计算图参数，注意：这里是创建新对象，非参数引用
W = torch.tensor(W, requires_grad=True)
X = torch.tensor(X)
y = torch.tensor(y)
for i in range(1, n_iter+1):
y_pred = f(X, W)
loss_v = loss_func(y_pred, y)
loss_v.backward()
with torch.no_grad():
W -= eta*W.grad
W.grad.zero_()
W_star = W.detach().numpy()
return W_star
# 本模型按照多分类架构设计
def LR(X, y, n_iter=200, eta=0.001, loss_func=cross_entropy, optimizer=gradient_descent, n_class=2):
# 初始化模型参数
# 我们使W和b融合，X后面添加一维
X = np.concatenate([X, np.ones([X.shape[0], 1])], axis=1)
W = np.zeros((X.shape[1], n_class), dtype=np.float64)
# 调用梯度下降法对函数进行优化
# 这里采用单次迭代对所有样本进行估计，后面我们在深度学习专栏中会介绍小批量法
W_star = optimizer(X, W, y, n_iter, eta, loss_func, logistic_f)
return W_star
if __name__ == '__main__':
X = np.array([
[1, 5, 3],
[4, 5, 6],
[7, 1, 9],
[10, 1, 12]
], dtype=np.float64)
# 标签向量，注意要从0开始编码
y = np.array([1, 2, 0, 0], dtype=np.int64)
# 迭代次数
n_iter = 200
# 学习率
eta = 0.001
# 分类类别数
n_class = 3
W = LR(X, y, n_iter, eta, cross_entropy, gradient_descent, n_class)
# 学得的权重矩阵，最后一行是偏置向量
print(W)
最终学得的权重为（同样，最后一行为偏置向量\(\bm{b}\)。因为是多分类，每一个类别维度\(k\)都会对应一个偏置\(b_k\))：
[[ 0.07124357 -0.10592994 -0.03893547]
[-0.13648944 0.10387124 0.07448013]
[ 0.04985565 -0.08291154 -0.04056595]
[-0.01069396 0.0115092 -0.00081524]]