附录E：概率论之随机变量的数字特征

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时间：2018-09-11 作者：魏文应

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一、数学期望

平均值 我们给一个文艺一点的名字，把平均值叫做 数学期望。随机变量 的数学期望，记为 ：

其中 是发生 时的概率。如果 是连续型随机变量，那么可以表示成定积分的样子：

数学期望有以下几个重要 性质（详细推理参考课本）：

• 设 是常数，则有 。
• 设 是一个随机变量， 是常数，则有：
  
• 设 、 是两个随机变量，则有：
  
• 设 、 是两个 相互独立 的随机变量，则有：
  

二、方差

你每天吃午饭的时间，大约是12点，也就是平均值为 。但你每天吃饭肯定不是准点的12点，而是和12点有点偏差。求这个偏差的平均值：

上面绝对值运算不方便，我们把它变成平方的形式：

这个就是 的方差，主要用来描述随机变量 与平均值 的偏离程度。把它记为下面的形式：

把方差进行开方运算得到 ，记为 称为 标准差 或者 均方差 。离散型变量的方差可以这么计算：

连续型变量可以这么计算：

当然，方差可以变换，用下面公式计算比较方便：

上面公式的意思，就是对 求平均值，减去 平均值的平方，就得到了方差 。方差有几个 重要的性质：

• 设 是常数，则 。
• 设 是随机变量， 是常数， 则有：
  

• 设 、 是两个随机变量，则有：
  当 、 相互独立 时，则有：
  
• 的 充要条件 是 以概率 1 取常数 ，即：
  

三、协方差

根据方差的性质，当 、 相互独立时：

如果 、 不是相互独立，这就意味着 ，我们把这个量 称为 和 的 协方差，记作 ，即：

而下面的 称为随机变量 、 的 相关系数：

协方差进行变换以后，可以用下面式子进行 计算 ：

协方差的相关系数是用来 描述两个变量之间相关性的， 说明两个变量、 之间没有关系， 比较小，说明相关性比较低， 比较大，说明相关性比较高 。

参考文献

• 《概率论与数理统计（第四版）》- 浙江大学