哈工大高等代数考试大纲

2020年数学学院硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称:高等代数      

 考试科目代码:[831]

一、考试内容及要求

(一)多项式

1.理解数域,多项式,整除,最大公因式,互素,不可约,重因式等概念。了解多项式环,微商,本原多项式,字典排序法,对称多项式,初等对称多项式,齐次多项式,多项式函数等概念。

2.掌握整除,带余除法定理,最大公因式定理,互素多项式及不可约多项式的判别与性质,多项式唯一因式分解定理,余式定理,因式定理、代数基本定理,Vieta定理,高斯引理,Eisenstein判别定理,对称多项式基本定理。

3.掌握多项式无重因式、多项式相等的判别条件,Lagrange插值公式,复数域、实数域及有理数域上多项式因式分解理论,有理多项式的有理根范围。

4.掌握辗转相除法,化对称多项式为初等对称多项式的多项式的方法。

 (二)行列式

1.了解行列式的概念,理解行列式的子式,余子式及代数余子式的概念。

2.掌握行列式的性质,Cramer法则,Laplace定理,行列式乘法公式。

3.掌握行列式的计算,并且能运用行列式理论解决相关问题。

(三)线性方程组

1.理解向量线性相关,向量组等价,极大无关组,向量组的秩,矩阵的秩,基础解系,解空间等概念。

2.掌握线性方程组有解判别定理,解的结构,以及求解线性方程组的方法。

  (四)矩阵

1.理解矩阵的基本概念及其性质,掌握矩阵的线性运算、乘法、转置,以及它们的运算规律。

2.掌握逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件。掌握伴随矩阵的概念与性质。理解矩阵的初等变换及矩阵等价的概念,会求矩阵的秩及逆矩阵。

3.理解分块矩阵,掌握分块阵的运算及初等变换。

(五)二次型

1.掌握二次型的概念及二次型的矩阵表示,二次型秩的概念,二次型的标准形、规范形及慣性定律,掌握用合同变换、正交变换化二次型为标准形的方法。

2.掌握二次型和对应矩阵的正定、半正定、负定、半负定及其判别法。

 (六)线性空间

1.理解线性空间,子空间,生成子空间,基底,维数,坐标,过渡矩阵,子空间的和与直和,线性空间同构等概念。

2.掌握基扩张定理,维数公式。会求基底,维数,坐标,过渡矩阵。

(七)线性变换

1.理解线性变换,特征多项式,特征子空间,不变子空间,相似变换,相似矩阵,Jordan标准形,有理标准形,最小多项式等概念。

2.掌握线性变换的性质,特征值、特征向量的性质,核空间与值域的性质,不变子空间的性质及分解理论。掌握Hamilton-Cayley定理及最小多项式理论。

3.掌握线性变换与矩阵“互化”的思想方法,并能用于解决相关问题。

(八)矩阵

1.理解矩阵、可逆矩阵、矩阵的行列式因子、不变因子、初等因子等概念,了解矩阵的标准形。

2.掌握矩阵可逆的充要条件,矩阵等价的充要条件,数字矩阵相似的充要条件,了解Jordan标准形的理论推导。

3.会求矩阵的标准形及不变因子。会求数字矩阵的Jordan标准形。

(九)欧几里得空间

1.掌握内积,欧氏空间,向量长度、夹角、距离,度量矩阵,标准正交基、正交补,正交变换,正交阵,对称变换,同构等概念。

2.掌握Schmidt正交化方法。掌握标准正交基的性质,正交变换的性质,正交阵的性质,对称变换的性质及标准形。

3.掌握实对称阵的特征值、特征向量的性质。会用正交相似变换将实对称阵相似(合同)对角化。

二、试卷结构

考试时间:180分钟

满分:150分

其中主观题的比例不低于60%

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