线性方程组（五）- 线性方程组的解集

小结

1. 齐次线性方程组的定义。
2. 解集的参数向量形式。
3. 非齐次线性方程组的解。

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齐次线性方程组

线性方程组称为齐次的，若它可写成的形式，其中是矩阵而是中的零向量。这样的方程组至少有一个解，即（中的零向量），这个解称为它的平凡解。对给定方程，重要的是它是否有非平凡解，即满足的非零向量。

齐次方程有非平凡解当且仅当方程至少有一个自由变量。

确定齐次方程组是否有平凡解，并描述它的解集。
解：令为该方程组的系数矩阵，用行化简算法把增广矩阵化为阶梯形
～～
因为是自由变量，故有平凡解（对的每一个选择都有一个解）。为描述解集，继续把化为简化阶梯形：

的通解有向量形式

注意，非平凡解向量可能有些零元素，只要不是所有元素都是0即可。

描述齐次方程组的解集。
解：这里无须矩阵记号。用自由变量和表示基本变量。通解为:

齐次方程总可表示为Span{}，其中是适当的解向量。若唯一解是零向量，则解集就是Span{}；若方程仅有一个自由变量，则解集是通过原点的一条直线。若有两个或更多个自由变量，则解集是通过原点的平面。

上述方程是平面的隐式描述，解此方程就是要找这个平面的显示描述（），就是说将它作为和的子集。
显示描述称为平面的参数向量方程，记为。当解集用向量显示表示，我们称之为解的参数向量形式。

非齐次方程组的解

描述的解，其中，
解：对作行变换得
～
把每个基本变量用自由变量表示：
的通解可写成向量形式

方程，或用表示自由变量，就是用参数变量形式表示的的解集。

注意：第一个例子齐次方程组的系数矩阵和上诉例子的系数矩阵是同一矩阵：。两个方程的参数形式的是相同的。故的解可由向量加上的解得到，向量本身也是的一个特解。

为了从几何上描述的解集，我们可以把向量加法解释为平移。
设是通过与的直线。的每个点加上得到表示的平移后的直线。注意也在平移后的直线上。称为通过平行于的直线方程。综上，的解集是一条通过而平行于的解集的直线。

设方程对某个是相容的，为一个特解，则的解集是所有形如的向量的集，其中是齐次方程的任意一个解。
注意：仅适用于方程至少有一个非零解的前提下。当无解时，解集是空集。

把（相容方程组的）解集表示称参数向量形式：

1. 把增广矩阵行化简为简化阶梯形矩阵。
2. 把每个基本变量用自由变量表示。
3. 把一般解表示称向量，如果有自由变量，其元素依赖于自由变量。
4. 把分解为向量（元素为常数）的线性组合，用自由变量作为参数。