递归与回溯

浅出

为了描述问题的某一状态，必须用到该状态的上一状态，而描述上一状态，又必须用到上一状态的上一状态……这种用自已来定义自己的方法，称为递归定义。形式如 f(n) = n * f(n - 1), if n = 0, f(n) = 1.

从问题的某一种可能出发，搜索从这种情况出发所能达到的所有可能，当这一条路走到“尽头”的时候，再倒回出发点，从另一个可能出发，继续搜索。这种不断“反悔”寻找解的方法，称作“回溯法”。

深入

递归法好比是一个军队要通过一个迷宫，到了第一个分岔口，有 3 条路，将军命令 3 个小队分别去探哪条路能到出口，3 个小队沿着 3 条路分别前进，各自到达了路上的下一个分岔口，于是小队长再分派人手各自去探路——只要人手足够（对照而言，就是计算机的堆栈足够），最后必将有人找到出口，从这人开始只要层层上报直属领导，最后，将军将得到一条通路。所不同的是，计算机的递归法是把这个并行过程串行化了。

而回溯法则是一个人走迷宫的思维模拟，其实是一种试探，走错了倒回来，继续走。该方法放弃关于问题规模大小的限制，并将问题的方案按某种顺序逐一枚举和试验。发现当前方案不可能有解时，就选择下一个方案，倘若当前方案不满足问题的要求时，继续扩大当前方案的规模，并继续试探。如果当前方案满足所有要求时，该方案就是问题的一个解。放弃当前方案，寻找下一方案的过程称为回溯。

递归算法依赖与前一步的结果，它的结果来源于一条主线，是确定的，而不是试探的结果，这就是其与回溯的区别，而在很多情况下，回溯与递归算法是在一起使用的。

栗子

递归会出现在子程序中自己调用自己或间接地自己调用自己。最直接的递归应用就是计算连续数的阶乘，计算规律：n! = (n - 1)! * n。观察阶乘计算的规律，前一个数结成的结果可以直接被应用到后一个数结成的计算中。

回溯是一种算法思想，可以用递归实现。通俗点讲回溯就是一种试探，类似于穷举，但回溯有“剪枝”功能，比如求和问题。给定 7 个数字，1 2 3 4 5 6 7 求和等于 7 的组合，从小到大搜索，选择 1 + 2 + 3 + 4 = 10 > 7，已经超过了 7，之后的 5 6 7 就没必要在继续了，这就是一种搜索过程的优化。比如 8 皇后问题。