并查集实现及其应用
先看看度娘给出的定义吧：
并查集，在一些有N个元素的集合应用问题中，我们通常是在开始时让每个元素构成一个单元素的集合，然后按一定顺序将属于同一组的元素所在的集合合并，其间要反复查找一个元素在哪个集合中。这一类问题近几年来反复出现在信息学的国际国内赛题中。其特点是看似并不复杂，但数据量极大，若用正常的数据结构来描述的话，往往在空间上过大，计算机无法承受；即使在空间上勉强通过，运行的时间复杂度也极高，根本就不可能在比赛规定的运行时间（1～3秒）内计算出试题需要的结果，只能用并查集来描述。
总结一下：
如果我们有大量的元素集合，我们需要频繁的调用以下两个操作：
- 将两个元素区间合并
- 判断两个元素是否在一个集合
如果我们没有并查集，那在面对大量数据下，执行这两个操作的时间复杂度将会很高
而如果我们使用并查集这个结构，虽然单次操作的时间复杂度可能为O(n),但如果我们频繁地调用这两个函数，平均下来的时间复杂度可达到O(1)
这个结论我们不证明，（毕竟大佬都证明了20多年才证出来，我咋可能在这么短的时间证出来（小声））
咳咳，总言而之，大家把上面的结论记住就行了
并查集这种结构可以很好的解决一些需要统计集合个数的题目
目录
- 并查集的实现
- 并查集应用
-
- 力扣547，省份数量
- 力扣200，岛屿数量
并查集的实现
先给出一个定义：
指针指向自己的结点，我们把它叫做这个集合的代表结点，它是作为标识集合的最顶点（父结点）存在的
假如我们有一个整数数组，我们需要实现成并查集
我们在初始化的时候，我们先把每个元素都看做一个单独的集合
也就是出一个指针，指向自己
这样就完成了我们的初始化，也就是每个元素的代表结点都是它本身
所以，我们判断元素是否来自同一个集合就很简单了，直接判断它们的代表结点是否相同即可
合并的操作如下：
现在这种情况，假如我们要合并1,2这两个元素所在的集合，我们可以把其中某个元素集合的父节点挂在另外一个父结点就行了
我们不妨把2挂在1上面
这样我们就完成了一次元素合并
假如我们这次要把2和3合并在一起，怎么做？
同样的，把其中一个集合的父节点挂在另外一个元素的父节点就行了
但这种情况，需要注意，为了加快效率，我们通常把小集合的父节点挂在大集合的父节点上
就像这样
但这个过程中，我们还需要一些操作
比如怎么找到某个元素所在集合的代表节点？怎么实现快速查找代表结点？在下面的代码实现中详细介绍
我们需要以下结构来实现：
一个记录元素关键结点下标位置的数组，一个记录当前元素所在集合的大小，还需要记录当前集合的个数
vector<int>parent;//记录此位置的关键结点，比如：parent[i]=a，代表i下标的元素在a处
vector<int>size;//记录关键结点所在集合的大小，只对关键结点有效，非关键结点设为0
vector<int>help;//辅助数组，后面做介绍
int sets;//记录当前并查集集合个数
初始化时，我们需要知道并查集初始有多少个元素，根据初始每个元素一个集合这个设定，可以快速写出以下初始化代码：
int n = nums.size();//我们的数组中有多少个元素，初始就开多少集合
parent.resize(n);
size.resize(n);
help.resize(n);
sets = n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
parent[i] = i;//关键结点为自己
size[i] = 1;//集合大小为1
}
因为上面的操作中，需要频繁的查找关键结点的位置，所以还需要实现一个查找关键结点位置的函数
原理很简单：
如果某个元素的parent[i]记录的下标不是元素本身的下标，就代表此结点不是代表结点，我们就通过parent数组记录的位置找到那个下标，不断迭代，直到找到关键结点为止
//这个函数最后返回当前下标中元素的代表结点下标
int findfather(int i)
{
while (i != parent[i])
{
i = parent[i];
}
return i;
}
但在某种极端情况下，这样频繁的调用的话，每次调用的时间复杂度都为O(n)
比如：元素都在一条链上，组成了一个类似链表的结构，我们从最下面的元素查找
如果我们不做任何优化的话，时间复杂度平均下来还是O(n)
我们可以做压缩路径的优化：
具体实现如下：
我们每次遍历时，把元素存在help数组中，就像下面
然后进行路径压缩，我们把依次弹出help中的每个元素，然后把每个元素的代表结点都设为当前返回值
这样每个元素就全部指向唯一的代表结点了
总结：
前面提到的help数组在这里当做栈来使用
虽然单次查找的时间复杂度可能是O(n),但经过了我们的路径压缩后，以后如果重复查找这个集合中的元素的话，时间复杂度就为O(1)
因为我们的前提是大量重复操作，所以平均下面，时间复杂度还是O(1)
完整的查找代表结点代码：
int findfather(int i)
{
int hi = 0;
while (i != parent[i])
{
help[hi++] = i;
i = parent[i];
}
for (hi--; hi >= 0; hi--)//记住先--
{
parent[help[hi]] = i;//路径压缩操作
help[hi] = 0;
}
return i;
}
接下来我们来实现文章开头提到的两个方法
注意：我们使用这两个方法时，参数传原数组中的下标
查找是否为相同元素就很简单了，直接判断相等即可
bool isSameFather(int i, int j)
{
return findfather(i) == findfather(j);
}
合并时的操作如下
先分别找出元素所在集合的代表结点
int A = findfather(i);
int B = findfather(j);
这时判断一下，如果A=B，代表两个元素来自同一集合，就不需要进行合并操作，直接函数退出即可
因为我们是将小集合挂在大集合上，所以我们需要判断一下A,B中哪个是大集合
int big = size[A] >= size[B] ? A : B;
int small = big == A ? B : A;
然后执行合并操作：改变代表结点位置，改变size值，改变集合个数等
parent[small] = big;
size[big] += size[small];
size[small] = 0;
sets--;//合并一个就代表并查集中集合少了一个
大多数情况下，我们可能还需要返回并查集中元素的个数
int getSets()
{
return sets;
}
完整代码如下
class Union2
{
public:
Union2(vector<int>& nums)
{
int n = nums.size();
parent.resize(n);
size.resize(n);
help.resize(n);
sets = n;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
parent[i] = i;
size[i] = 1;
}
}
bool isSameFather(int i, int j)
{
return findfather(i) == findfather(j);
}
int getSets()
{
return sets;
}
void together(int i, int j)//传的是下标
{
int A = findfather(i);
int B = findfather(j);
if (A != B)
{
int big = size[A] >= size[B] ? A : B;
int small = big == A ? B : A;
parent[small] = big;
size[big] += size[small];
size[small] = 0;
sets--;
}
}
private:
vector<int>parent;//记录此位置的关键结点
vector<int>size;//记录关键结点的位置
vector<int>help;//做栈
int sets;//记录集合个数
int findfather(int i)
{
int hi = 0;
while (i != parent[i])
{
help[hi++] = i;
i = parent[i];
}
for (hi--; hi >= 0; hi--)//记住先--
{
parent[help[hi]] = i;
help[hi] = 0;
}
return i;
}
};
另外再补充一下哈希表的实现，把哈希把当做指针结点来进行保存即可，其它无异
class Node
{
public:
Node(int x)
:val(x)
{}
private:
int val;
};
class Union
{
private:
unordered_map<int, Node*>node;//值和值对应的结点
unordered_map<Node*, Node*>parent;//结点和其代表结点
unordered_map<Node*, int>size;//代表结点和对应其集合大小
Node* findfather(Node* n)
{
stack<Node*>path;
Node* cur = n;
while (parent[cur] != cur)
{
cur = parent[cur];
path.push(cur);
}
if (!path.empty())
{
Node* now = path.top();
parent[now] = cur;
path.pop();
}
return cur;
}
public:
Union(vector<int>& nums)
{
for (auto i:nums)
{
Node* n = new Node(i);
node[i] = n;
parent[n] = n;
size[n] = 1;
}
}
bool isSameUnion(int a, int b)
{
return findfather(node[a]) == findfather(node[b]);
}
int setsize()
{
return size.size();
}
void together(int a, int b)
{
Node* A = findfather(node[a]);
Node* B = findfather(node[b]);
if (A != B)
{
Node* big = size[A] >= size[B] ? A : B;
Node* small = A == big ? B : A;
parent[small] = big;
size[big] += size[small];
size.erase(small);
}
}
};
并查集应用
力扣547，省份数量
原题链接
题目描述：
有 n 个城市，其中一些彼此相连，另一些没有相连。如果城市 a 与城市 b 直接相连，且城市 b 与城市 c 直接相连，那么城市 a 与城市 c 间接相连。
省份 是一组直接或间接相连的城市，组内不含其他没有相连的城市。
给你一个 n x n 的矩阵 isConnected ，其中 isConnected[i][j] = 1 表示第 i 个城市和第 j 个城市直接相连，而 isConnected[i][j] = 0 表示二者不直接相连。
返回矩阵中 省份 的数量。
例如：输入：isConnected = [[1,1,0],[1,1,0],[0,0,1]]
输出：2（因为1,2城市有联系，那么1,2其中一个就不是首都）
思路求解：
这道题是一个典型的并查集返回集合个数的问题
如果有0,1,2这三个城市，设0,1,2分别代表数组中的横纵坐标，如果它们之间有道路，则把它们在数组中的交点设为1，反之为0
我们可以得出数组的以下性质：对角线上元素恒为1，因为自己跟自己肯定有联系
此数组一定是一个对称矩阵，如果（1,2）之间有联系，那么（2,1）也必然有联系
所以我们在遍历时，只需要遍历数组对角线上面的元素即可
因为初始有行数个城市，所以我们初始化并查集时，只需传进行数大小即可，初始每个城市都是首都，也就是每个结点都是代表结点
如果遍历到有联系，合并这两个城市即可
代码如下：
class Union//并查集集合
{
public:
Union(int n)//有多少城市就传入多少，初始假设每个城市都是首都
{
parent.resize(n);
size.resize(n);
help.resize(n);
set=n;
for(int i=0;i<n;i++)
{
parent[i]=i;//初始的父亲结点指向自己
size[i]=1;//每个集合仅有一个元素
}
}
bool isSameFather(int i,int j)//观察是否属于同一个元素
{
return findFather(i)==findFather(j);
}
void together(int i,int j)//将两个元素的集合合并
{
int A=findFather(i);
int B=findFather(j);//先找到它们的代表结点
if(A!=B)//不等才操作
{
//为了提高效率，将小集合挂在大集合下面
int big=A>=B?A:B;
int small=big==A?B:A;
parent[small]=big;//将代表结点改变即可
size[big]+=size[small];
size[small]=0;
set--;
}
}
int getSet()
{
return set;
}
private:
vector<int>parent;//表示某个下标位置的父亲在哪里
vector<int>size;//表示代表结点的集合个数
vector<int>help;//在压缩路径时当做栈使用
int set;//记录集合个数
int findFather(int i)//传入下标，把代表结点的下标返回
{
int hi=0;
while(parent[i]!=i)//判断当然元素的父亲是不是自己，是就停止，不是就迭代
{
help[hi++]=i;
i=parent[i];
}
//进行路径压缩
for(hi--;hi>=0;hi--)
{
parent[help[hi]]=i;
help[hi]=0;
}
return i;
}
};
class Solution {
public:
int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {
int n=isConnected.size();
Union u(n);
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=i+1;j<n;j++)//只需要遍历右上角的元素
{
if(isConnected[i][j]==1)
{
u.together(i,j);
}
}
}
return u.getSet();
}
};
力扣200，岛屿数量
原题链接
给你一个由 ‘1’（陆地）和 ‘0’（水）组成的的二维网格，请你计算网格中岛屿的数量。
岛屿总是被水包围，并且每座岛屿只能由水平方向和/或竖直方向上相邻的陆地连接形成。
此外，你可以假设该网格的四条边均被水包围。
例如：
输入：grid = [
[“1”,“1”,“0”,“0”,“0”],
[“1”,“1”,“0”,“0”,“0”],
[“0”,“0”,“1”,“0”,“0”],
[“0”,“0”,“0”,“1”,“1”]
]
输出：3
思路求解
这题其实有一个递归感染法，不过不是本章重点，所以我只贴出代码，不详细讲解
class Solution {
public:
void infect(vector<vector<char>>& grid,int r,int c)
{
//感染的时候为了防止死递归，将数字都改为2
if(r<0||c<0||r>=grid.size()||c>=grid[0].size()||grid[r][c]!='1')
{
return;
}
grid[r][c]='2';
infect(grid,r-1,c);
infect(grid,r+1,c);
infect(grid,r,c-1);
infect(grid,r,c+1);
}
int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
//递归感染法
int ans=0;
int r=grid.size();
int c=grid[0].size();
for(int i=0;i<r;i++)
{
for(int j=0;j<c;j++)
{
if(grid[i][j]=='1')
{
ans++;
infect(grid,i,j);
}
}
}
return ans;
}
};
我们重点讲解这题的并查集实现方法
首先，设地图有row行,有col列，那么我们在初始化时可以开一个row*col的数组
我们可以把二维坐标转化为一维数组，转化公式如下：
int index(int i,int j)
{
return i*col+j;
}
初始时，我们先遍历整个地图，只要有岛，就将其对应坐标初始化，初始时每个1都看做一个独立的岛
为了防止漏数，所以在我们遍历的时候，观察当然位置的左上位置是否有岛，有就合并
int index(vector<vector<char>>& grid,int i,int j)
{
return i*grid[0].size()+j;
}
class Union2
{
public:
Union2(vector<vector<char>>& grid)
{
//特别注意这题并查集的构造
//把并查集转成一维数组，在二维数组下标对应位置存储元素，其它不做处理，遍历在每个1时才对并查集对应位置做处理
int n=grid.size()*grid[0].size();
parent.resize(n);
size.resize(n);
help.resize(n);
sets=0;
for(int i=0;i<grid.size();i++)
{
for(int j=0;j<grid[0].size();j++)
{
if(grid[i][j]=='1')
{
int k=index(grid,i,j);
parent[k]=k;
size[k]++;
sets++;//集合数动态增加
}
}
}
}
bool isSameFather(int i, int j)
{
return findfather(i) == findfather(j);
}
int getSets()
{
return sets;
}
void together(int i, int j)//传的是下标
{
int A = findfather(i);
int B = findfather(j);
if (A != B)
{
int big = size[A] >= size[B] ? A : B;
int small = big == A ? B : A;
parent[small] = big;
size[big] += size[small];
size[small] = 0;
sets--;
}
}
private:
vector<int>parent;//记录此位置的关键结点
vector<int>size;//记录关键结点的位置
vector<int>help;//做栈
int sets;//记录集合个数
int findfather(int i)
{
int hi = 0;
while (i != parent[i])
{
help[hi++] = i;
i = parent[i];
}
for (hi--; hi >= 0; hi--)//记住先--
{
parent[help[hi]] = i;
help[hi] = 0;
}
return i;
}
};
class Solution {
public:
int numIslands(vector<vector<char>>& grid) {
Union2 u(grid);
for(int j=1;j<grid[0].size();j++)
{
if(grid[0][j-1]=='1'&&grid[0][j]=='1')
{
u.together(index(grid,0,j-1),index(grid,0,j));
}
}
for(int i=1;i<grid.size();i++)
{
if(grid[i-1][0]=='1'&&grid[i][0]=='1')
{
u.together(index(grid,i-1,0),index(grid,i,0));
}
}
//前面两个for循环是对边界的处理
for(int i=1;i<grid.size();i++)
{
for(int j=1;j<grid[0].size();j++)
{
if(grid[i][j]=='1')
{
if(grid[i-1][j]=='1')
{
u.together(index(grid,i-1,j),index(grid,i,j));
}
if(grid[i][j-1]=='1')
{
u.together(index(grid,i,j),index(grid,i,j-1));
}
}
}
}
return u.getSets();
}
};