POJ 2823 (从经典滑动窗口最大值问题入门单调队列)

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POJ 2823

题目大意

输入一个长度为n（n ≤ 106 ）的数列，给定一个长度为k的窗口，让这个窗口在数列上移动，求移动到每个位置窗口中包含数的最大值和最小值。即设序列为 A1 , A2 ,…, An ，设f(i)=min{ Ai−k+1 , Ai−k+2 ,…, Ak } ,g(i)=max{ Ai−k+1 , Ai−k+2 ,…, Ak }
求：f(k),f(k+1),…,f(n) g(k),g(k+1),…,g(n).

分析

本题算是单调队列的经典入门题。因此拿来学习单调队列。
如果单纯对每一个i都去扫描前面k个数去求最值，那复杂度为o(n*k)，肯定超时。
如果用线段树或者树状数组维护区间最值，那复杂度为o(nlogn)。
但还有更简洁更高效的办法，即单调队列。//可参考紫书P241
单调队列是一种特殊的队列，它能在队列两端进行删除操作，并始终维护队列保持一种单调性。
以求窗口最小值为例，我们需要维护一个内部元素值递减的队列来模拟滑动窗口，使每一次查询取队首元素即为答案。如何维护呢？有以下两种操作：

1.从队尾插入元素：当有新元素需要入队时，让它与当前队尾元素进行比较，若它小于等于当前队尾元素（即破坏了原队列的单调性），那么删除队尾元素，并继续比较队尾与新元素，直到找到一个队尾大于新元素时，将新元素插入到队尾。被删除的元素既比新元素大，又会比新元素先滑出窗口，因此肯定不会成为答案。这个操作不断维护了队列中的最值。

2.删除队首元素：由于序列中的元素当且仅当在滑动窗口时有效，因此，当队首元素不在滑动窗口内时，就删除队首元素。这个操作维护了数据的临时性。

元素是否过时与其下标有关，因此我队列中存储的是序列数对应的下标，这样每当要入队一个数，只需访问队首元素所存下标在序列中对应的数即可得到答案。
这样做尽管插入元素时有时需删除多个数，但每个数最多被删除一次，因此时间复杂度为O(n).

代码

数组模拟单调队列

#include 
#include 
#include 
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int a[MAXN],Min[MAXN],Max[MAXN],Q[MAXN],n,k;
void get_min()  
{
    int head,tail,i;
    memset(Q,0,sizeof(Q));
    head=1;tail=1;
    Q[tail]=1;
    Min[1]=a[1];
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        while ((head<=tail)&&(a[i]//删除队尾元素
            tail--;                            //插入队尾元素
        Q[++tail]=i;
        while ((head<=tail)&&(Q[head]1)) //删除队首过时元素
            head++;
        /*由于每一层循环只添加一个数，因此每次最多删除一次队首，
        故可改成if语句*/
        Min[i]=a[Q[head]];                         //访问答案
    }
}
void get_max() 
{
    int head,tail,i;
    memset(Q,sizeof(Q),0);
    head=1;tail=1;
    Q[tail]=1;
    Max[1]=a[1];
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        while ((head<=tail)&&(a[i]>a[Q[tail]]))
            tail--;
        Q[++tail]=i;
        while ((head<=tail)&&(Q[head]1))
            head++;
        Max[i]=a[Q[head]];
    }
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    get_min();
    get_max();

    for (i=k;iprintf("%d ",Min[i]);
    printf("%d\n",Min[n]);
    for (i=k;iprintf("%d ",Max[i]);
    printf("%d\n",Max[n]);
    return 0;
}

使用STL中的双端队列deque容器

#include 
#include 
#include 
#include 
#define MAXN 1000010
using namespace std;
int a[MAXN],Min[MAXN],Max[MAXN],Q[MAXN],n,k;
void Get_Min()
{
    deque<int> Q;
    int i;
    Q.push_back(1);
    Min[1]=a[1];
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        while ((!Q.empty())&&(a[i]while ((!Q.empty())&&(Q.front()1))
            Q.pop_front();
        Min[i]=a[Q.front()];
    }
}
void Get_Max()
{
    deque<int> Q;
    int i;
    Q.push_back(1);
    Max[1]=a[1];
    for (i=2;i<=n;i++)
    {
        while ((!Q.empty())&&(a[i]>a[Q.back()]))
            Q.pop_back();
        Q.push_back(i);
        while ((!Q.empty())&&(Q.front()1))
            Q.pop_front();
        Max[i]=a[Q.front()];
    }
}
int main()
{
    int i;
    scanf("%d%d",&n,&k);
    for (i=1;i<=n;i++)
        scanf("%d",&a[i]);
    Get_Min();
    Get_Max();

    for (i=k;iprintf("%d ",Min[i]);
    printf("%d\n",Min[n]);
    for (i=k;iprintf("%d ",Max[i]);
    printf("%d\n",Max[n]);
    return 0;
}