【MATLAB】MATLAB数值计算

数据分析与多项式计算

数据统计分析

• 求最大元素和最小元素
  • 当参数为向量时，函数有两种调用格式
    1. y = max(x)：返回向量x的最大值存入y，如果x中包含复数元素，则按模取最大值
    2. [y,k] = max(x)：返回向量x的最大值存入y，最大值元素的序号存入k，如果x中包含复数元素，则按模取最大值
  • 当参数为矩阵时，函数有三种调用格式
    1. max(a)：返回一个行向量，向量的第i个元素是矩阵a的第i列上的最大值
    2. [y,u] = max(a)：返回行向量y和u，y向量记录a的每列最大值，u向量记录每列最大值元素的行号
    3. max(a,[],dim)：dim取1或2，dim取1时，该函数和max(a)完全相同，dim取2时，该函数返回一个列向量，其第i个元素是a矩阵的第i行上的最大值
• 求平均值和中值
  1. mean()：求算术平均值
  2. median()：求中值
• 求和与求积
  1. sum()：求和函数
  2. prod()：求积函数
• 累加和与累乘积
  1. Cumsum()：累积和函数
  2. Cumprod()：累乘积函数
• 求标准差与相关系数
  • std()：计算标准差函数
    1. std(x)：计算向量x的标准差
    2. std(a)：计算矩阵a的各列标准差
    3. std(a,flag,dim)：flag取0或1，当flag=0时，按s1所列公式计算样本标准方差，当flag=1时，按s2所列公式计算总体标准方差
  • corrcoef()：相关系数函数
    1. corrcoef(a)：返回由矩阵a所形成的一个相关系数矩阵，其中，第i行第i列的元素表示原矩阵a中第i行和第i列的相关系数
    2. corrcoef(x,y)：在这里，x,y是向量，他们与corrcoef([x,y])的作用是一样的，用于求xy向量之间的相关系数
• 排序
  • sort()：排序函数
    1. sort(x)：对向量x按升序排列
    2. [y,i] = sort(a,dim,mode)：其中，dim指明a的列还是行进行排序，mode指明按升序还是降序排列，取acsend则按升序，取descend则按降序，默认为升序排列，输出参数中，y是排序后的矩阵，而i记录y中的元素在a中的位置

多项式计算

• 多项式的表示
  • 多项式：由多个单项式组合而成的代数式；MATLAB中多项式的表示：n次多项式用n-1的行向量表示；
  • 创建时需要注意的：
    1. 多项式系数向量的顺序是从高到低的
    2. 多项式系数向量包括0次项系数，长度为多项式最高次数+1
    3. 若有的像没有，相应位置用0补足
• 多项式的四则运算
  1. 多项式的加减运算：即相应向量相加减
  2. 多项式乘法：conv(p1,p2)，p1p2是两个多项式系数向量
  3. 多项式除法：[q,r] = deconv[p1,p2]，其中q返回多项式p1除以p2的商式，r返回p1除以p2的余式，q和r仍是多项式系数向量
  • deconv是conv的逆函数，因此有p1 = conv(q,p2)+r
• 多项式的求导
  • polyder()：多项式求导函数
    1. p = polyder§：求多项式p的导函数
    2. p = polyder(p,q)：求p.*q的导函数
    3. [p,q] = polyder(p,q)：求p/q的导函数导函数的分子存入p，分母存入q
• 多项式的求值
  • polyval(p,x)：代数多项式求值
    • 其中，p为多项式系数向量，x可以是标量、向量或矩阵。若x为标量，则求多项式在该点的值；若x为向量或矩阵，则对向量或矩阵中的每个元素求多项式的值
  • polyvalm(p,x)：矩阵多项式求值
    • 其调用格式与上相同，但含义不同，他要求x是方阵，以方阵为自变量求多项式的值
• 多项式的求根
  • roots§：多项式求根函数

数据插值

• 数据插值可以根据有限个点的取值状况，合理估算出附近其他点的取值，从而节约大量的实验和测试资源，节省了大量的人力、物力和财力
• interp1()：一维插值函数
  • y1 = interp1(x,y,x1,method)，根据x,y的值，计算函数在x1处的值，其中x,y是两个等长的已知向量，分别表示采样点和采样值，x1是一个向量或标量，表示要插值的点,method用于指定插值方式，常用的取值有以下四种：
    1. linear：线性插值，默认方法，将于插值点靠近得到两个数据点用直线连接，然后在直线上选取对应插值点的数据
    2. nearest：最近点插值，选择最近样本点的值作为插值数据
    3. pchip：分段3次埃尔米特插值，采用分段三次多项式，除满足插值条件，还需要满足若干点处相邻段插值函数的一阶导数相等，使得曲线光滑的同时，还具有保持性
    4. spline：3次样条插值，每个分段内构造一个三次多相似，使其插值函数除满足插值条件外，还要求在各节点处具有连续的一阶和二阶导数
• interp2()：二维插值函数
  • z1 = interp2(x,y,z,x1,y1,method)

数据插值应用举例

曲线拟合

• polyfit()：多项式拟合函数
  • 函数功能：求得最小二乘拟合多项式系数
  • 调用格式：
    1. p = polyfit(x,y,m)：仅输出多项式系数p
    2. [p,s] = polyfit(x,y,m)：还输出误差数据S
    3. [p,s,mu] = polyfit(x,y,m)
    • 根据样本数据x,y，产生一个m次多项式p及其在采样点误差数据s，mu是一个二元向量，mu(1)是mean(x)，而mu(2)是std(x).

数值微积分与方程求解

数值微分与数值积分

• 数值微分
  1. 数值差分与差商
     • 向前差商：f’(x) ≈ (f(x+h)-f(x)) / h
     • 向后差分：f’(x) ≈ (f(x)-f(x-h)) / h
     • 中心差商：f’(x) ≈ (f(x+h/2)-f(x-h/2)) / h
  2. 数值微分的实现
     • MATLAB提供了求向前差分的函数diff，其调用格式有三种：
     1. dx = diff(x)：计算向量x的向前差分 dx(i) = x(i+1)-x(i)
     2. dx = diff(x,n)：计算向量xx的n阶向前差分
     3. dx = diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim = 1时(默认状态)，按列计算差分；dim = 2，按行计算差分
• 数值积分
  1. 数值积分基本原理
     • 牛顿-莱布尼茨公式
  2. 数值积分的实现
     1. 基于自适应辛普森方法：[l,n] = quad(filename,a,b,tol,trace)
     2. 基于自适应Gauss-Lobatto方法：[l,n] = quadl(filename,a,b,tol,trace)
     • 其中，filename是被积函数名；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限[a,b]必须是有限的，不能为无穷大(lnf)：tol用来控制积分精度，默认时取tol = 10(-6)；trace控制是否展现积分过程，若取非0则展示积分过程，取0则不展示，默认时取trace = 0；返回参数l即定积分的值，n为被积函数的调用次数
     3. 基于全局自适应积分方法：l = integral(filename,a,b),其中，l是计算得到的积分；filename是被积函数；a和b分别是定积分的下限和上限，积分限可以为无穷大
     4. 基于自适应高斯-克朗罗德方法：[l,err] = quadgk(filename,a,b)，其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用法与quad函数相同，积分上下限可以是无穷大(-lnf或luf)，也可以是复数，如果积分上下限是复数，则quadgk函数在复平面上求积分
     5. 基于梯形积分法，l = trapz(x,y)，其中，向量x、y定义函数关系y = f(x)
        

线性方程组求解

• 线性方程组的直接解法
  • 高斯消去法
  • 列主元消去法
  • 矩阵的三角分解法
  1. 利用左除运算符的直接解法：Ax = b -> x = A\b ，若右端项b为 n×m 的矩阵，则 x=A\b可同时获得系数矩阵A相同的m个线性方程组的数值解x,x为 n×m 的矩阵，即x(:,j) = A\b(:,j),j =1,2 …, m；
  2. 利用矩阵分解求解线性方程组
     1. lu分解的基本思想
        
     2. MATLAB的LU分解函数
        • [L,U] = lu(A)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L，使之满足A = LU，注意，矩阵A必须是方阵
        • [L,U,P] = lu(A)：产生一个上三角阵U和一个变换形式的下三角阵L以及一个置换矩阵P，使之满足A = LU，同样，矩阵A必须是方阵
        • 用LU分解求解线性方程组
          
  3. 线性方程组的迭代解法

线性方程组应用举例

1．平面桁架结构受力分析问题

alpha=sqrt(2)/2;

A=[0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0;

   0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0;

   alpha,0,0,-1,-alpha,0,0,0,0,0,0,0,0;

   alpha,0,1,0,alpha,0,0,0,0,0,0,0,0;

   0,0,0,1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0;

   0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0;

   0,0,0,0,alpha,1,0,0,-alpha,-1,0,0,0;

   0,0,0,0,alpha,0,1,0,alpha,0,0,0,0;

   0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,-1;

   0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0;

   0,0,0,0,0,0,0,1,alpha,0,0,-alpha,0;

   0,0,0,0,0,0,0,0,alpha,0,1,alpha,0;

   0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,alpha,1];

b=[0;10;0;0;0;0;0;15;0;20;0;0;0];

f=A\b;

disp(f')

2．小行星运行轨道计算问题

xi=[1.02,0.87,0.67,0.44,0.16];

yi=[0.39,0.27,0.18,0.13,0.13];

A=zeros(length(xi));

for i=1:length(xi)

    A(i,:)=[xi(i)*xi(i),2*xi(i)*yi(i),yi(i)*yi(i),2*xi(i),2*yi(i)];

end

b=-ones(length(xi),1);

ai=A\b

或者：

xi=[1.02,0.87,0.67,0.44,0.16]';

yi=[0.39,0.27,0.18,0.13,0.13]';

A=[xi.*xi,2*xi.*yi,yi.*yi,2*xi,2*yi];

b=-ones(length(xi),1);

ai=A\b

>> f=@(x,y) 2.4645*x.^2-0.8846*x.*y+6.4917*y.^2-1.3638*x-7.2016*y+1;

>> h=ezplot(f,[-0.5,1.2,0,1.2]);

非线性方程求解与函数极值计算

• 非线性方程组求解
  1. 求单变量非线性方程求解
     • 函数的调用格式为：x = fzero(filename,x)，其中，filename是待求根方程左端的函数表达式，x是初始值
  2. 非线性方程数值求解
     • x = fsolve(filename,x,option),filename是待求根方程左端的函数表达式，x是初始值,option用于设置优化工具箱的优化参数
• 函数极值计算
  1. 无约束最优化问题，求最小值的函数
     • 一元函数：[xmin,fmin] = fminbnd(filename,x1,x2,option)，其中，filename是定义的目标函数，x1,x2表示被研究区间的左右边界，option为优化参数，可以通过optimset函数来设置
     • 多元函数(基于单纯形算法)：[xmin,fmin] = fminsearch(filename,x,option)。其中，filename是定义的目标函数，x是向量，表示极值点的初值，option为优化参数，可以通过optimset函数来设置
     • 多元函数(基于牛顿算法)：[xmin,fmin] = fminunc(filename,x,option)，其中，filename是定义的目标函数，x是向量，表示极值点的初值，option为优化参数，可以通过optimset函数来设置
  2. 有约束最优化问题
     • 求有约束条件下最小值的函数为：[xmin,fmin] = fmincon(filename,x,A,b,Aeq,beq,Lbnd,Ubnd,NonF,option)，其中，xmin、fmin、filename、x和option的含义与求最小值函数相同。其余参数均为约束条件，包括线性不等式约束、线性等式约束、x的下界和上界以及定义非线性约束的函数。如果某个约束不存在，则用空矩阵来表示。

常微分方程数值求解

• 单步法：在计算y(n+1)只用到前一步的y(n)，因此在有了初值之后就可以逐步往下计算，其代表是龙格-库塔法
• 多步法：在计算y(n+1)时，除了用到前一步的值之外，还要用到前面k步的值，其代表就是亚当斯法
• 函数调用格式：[t,y] = solver(filename,tspan,y,option)，其中，t和y分别给出时间向量和相应的数值解。solver为求常微分方成数值解的函数，filename是定义f(t,y)的函数名，该函数必须返回一个列向量，tspan形式为[t0,tf]，表示求解区间，y是初始状态列向量。option是可选参数，用于设置求解属性。
• 常微分方程数值求解函数的统一命名格式：odennxx，其中，ode是常微分方程的意思，是一个缩写；nn是数字，代表所用方法的阶数lxx是字母，用于标注方法的专门特征
• 刚性问题：一类常微分方程，其解得分量有的变化很快，有的变化很慢，且相差悬殊，这就是所谓的刚性问题(Stiff)