《离散数学》速成

《离散数学》速成-练习题答案(含题目)

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课时一  命题逻辑的基本概念

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  • 1) 命题:能判断其真值的陈述句.
  • 2) 真值:真、假.(1、0)
  • 3) 真命题:真值为真的命题.
  • 4) 假命题:真值为假的命题.
  • 5) 原子命题(简单命题):不能再被分解成更简单的命题.
  • 6) 复合命题:由简单命题通过联结词联结而成的命题.

判定给定句子是否为命题,应该分两步:
① 首先判定它是否为陈述句.
② 其次判断它是否有唯一真值

题 1.下列语句中,下面哪一个选项是命题?()

  1. 你今天有空吗?
  2. 我正在说谎.
  3. 请勿随地吐痰!
  4. 2是偶数

答案:4
 

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题 1. 将下列命题符号化 .

1.4 不是素数.

2.小智和小红是学生.

3.小智和小红是同学.

4.小智是江苏人或者江西人.

5.小红喜欢唱歌或跳舞.

6.①只要 能被 4 整除,则 一定能被 2 整除.

②只有 能被 4 整除,则 才能被 2 整除.

③ 能被 4 整除,仅当 能被 2 整除.

 7.2+3=5的充要条件是\sqrt{3}是无理数.

答案

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  • \wedge:自然语言中的“既……,又……”“不但……,而且……”“虽然……,但是……”“一面……,一面……”等.
  • \rightarrow:“只要 p ,就q ”,“因为  p,所以 q”,“ p仅当q ”,“只有q 才p”,“除非q才p ”,“除非q ,否则非 p ”等等,符号化为p\rightarrowq
  • \leftrightarrow:“当且仅当”,“……充要条件”等.

3. 命题公式及其赋值

1) 命题变元:取值 1(真)或 0(假)的变元.

2) 合式公式:将命题变元用联结词或圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串.
3) 设p_{1},p_{2}...p_{n}是出现在公式 A中的全部命题变元,给p_{1},p_{2}...p_{n}各指定一个真值,称为对A的一个赋值

若指定的一组值使A为 1,则称这组值为A的成真赋值;若使为 0,则称这组值的成假赋值.

题 1. 写出下列公式的真值表,并求它们的成真赋值和成假赋值 .
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设A为任一命题公式

1) 若 A在它的各种赋值下取值均为真,则称A为重言式或永真式.

2) 若A在它的各种赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式.

3) 若A不是矛盾式,则称A为可满足式.
 

课时一练习题

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课时二:命题逻辑等值演算

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 1. 等值式
设A,B是两个命题公式,若A,B构成的等价式A\leftrightarrow BA\leftrightarrow BA \leftrightarrow B为重言式,则称A与B是等值的,记作A\Leftrightarrow B

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2. 析取范式与合取范式

  1. 文字:命题变元及其否定.
  2. 简单析取式:仅由有限个文字构成的析取式.
  3. 简单合取式:仅由有限个文字构成的合取式.
  4. 析取范式:由有限个简单合取式的析取构成的命题式,其中A_{i}(i =1, 2,...,s)是简单合取式.
  5. 合取范式:由有限个简单析取式的合取构成的命题式,其中是简单析取式.

 

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3. 主析取范式与主合取范式

在含有n个命题变元的简单合取式(简单析取式)中,若每个命题变元和它的否定式恰好

出现一个且仅出现一次,而且命题变元或它的否定式按照下标从小到大顺序排列,称这

样的简单合取式(简单析取式)为极小项(极大项).

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m_{i}M_{i},是命题变元含的极小项和极大项,则

所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式.
所有筒单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式.

 

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4. 联结词的完备集
设S是一个联结词集合,如果一个命题公式都可以由仅含S中的联结词构成的公式表示,则称S是一个联结词完备集.

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课时二练习题

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课时三:命题逻辑的推理理论

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 1. 推理的相关公式

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2. 自然推理系统

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题⒉.在自然推理系统中,构造并证明下列推理.(命题逻辑推理证明)
如果小王是理科生,则他的数学成绩一定很好.

如果小王不是文科生,则他一定是理科生.

小王的数学成绩不好.所以,小王是文科生.
解:设简单命题
p:小王是理科生.q:小王的数学成绩很好.r :小王是文科生.
前提:
结论: r
证明:

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题 3. 用推理的形式结构证明:

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题 4.在自然推理系统P中构造下面推理的证明.

如果小张守第一垒并且小李向B队投球,则A队取胜;或者A队未取胜,或者A队成为联赛第一名;

A 队没有成为联赛的第一名;小张守第一垒.因此,小李没向B队投球.

解:设简单命题

p:小张守第一垒.

q:小李向 B队投球.

r: 队取胜.

s: 队成为联赛第一名.

前提:

结论:
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