拓端tecdat|R语言贝叶斯MCMC：GLM逻辑回归、Rstan线性回归、Metropolis Hastings与Gibbs采样算法实例

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原文出处：拓端数据部落公众号

什么是频率学派？

在频率学派中，观察样本是随机的，而参数是固定的、未知的数量。

概率被解释为一个随机过程的许多观测的预期频率。

有一种想法是 "真实的"，例如，在预测鱼的生活环境时，盐度和温度之间的相互作用有一个回归系数？

什么是贝叶斯学派？

在贝叶斯方法中，概率被解释为对信念的主观衡量。

所有的变量--因变量、参数和假设都是随机变量。我们用数据来确定一个估计的确定性（可信度）。

这种盐度X温度的相互作用反映的不是绝对的，而是我们对鱼的生活环境所了解的东西（本质上是草率的）。

目标

频率学派

保证正确的误差概率，同时考虑到抽样、样本大小和模型。

• 缺点：需要对置信区间、第一类和第二类错误进行复杂的解释。

• 优点：更具有内在的 "客观性 "和逻辑上的一致性。

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贝叶斯学派

分析更多的信息能在多大程度上提高我们对一个系统的认识。

• 缺点：这都是关于信仰的问题! ...有重大影响。

• 优点: 更直观的解释和实施，例如，这是这个假设的概率，这是这个参数等于这个值的概率。可能更接近于人类自然地解释世界的方式。

实际应用中：为什么用贝叶斯

• 具有有限数据的复杂模型，例如层次模型，其中

• 实际的先验知识非常少

贝叶斯法则：

一些典型的贝叶斯速记法。

• 

注意:

• 贝叶斯的最大问题在于确定先验分布。先验应该是什么？它有什么影响？

目标:

计算参数的后验分布：π（θ|X）。

点估计是后验的平均值。

一个可信的区间是

你可以把它解释为一个参数在这个区间内的概率 。

计算

皮埃尔-西蒙-拉普拉斯（1749-1827）（见：Sharon Bertsch McGrayne: The Theory That Would Not Die)

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• 有些问题是可分析的，例如二项式似然-贝塔先验。
  • 如果你有几个参数，而且是奇数分布，你可以用数值乘以/整合先验和似然（又称网格近似）。
    • 但如果你有很多参数，这是不可能完成的操作
• 尽管该理论可以追溯到1700年，甚至它对推理的解释也可以追溯到19世纪初，但它一直难以更广泛地实施，直到马尔科夫链蒙特卡洛技术的发展。

MCMC

MCMC的思想是对参数值θi进行 "抽样"。

回顾一下，马尔科夫链是一个随机过程，它只取决于它的前一个状态，而且（如果是遍历的），会生成一个平稳的分布。

技巧 "是找到渐进地接近正确分布的抽样规则（MCMC算法）。
 

有几种这样的（相关）算法。

• Metropolis-Hastings抽样
• Gibbs 抽样
• No U-Turn Sampling (NUTS)
• Reversible Jump

一个不断发展的文献和工作体系!

Metropolis-Hastings 算法

1. 开始:
2. 跳到一个新的候选位置:
3. 计算后验:
4. 如果
5. 如果
6. 转到第2步

Metropolis-Hastings: 硬币例子

你抛出了5个正面。你对θ的最初 "猜测 "是

MCMC:

 
p.old <- prior *likelihood 
while(length(thetas) <= n){
  theta.new <- theta + rnorm(1,0,0.05)
  p.new <- prior *likelihood 
  if(p.new > p.old | runif(1) < p.new/p.old){
    theta <- theta.new
    p.old <- p.new
  }

画图:

hist(thetas[-(1:100)] )
curve(6*x^5 )

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采样链：调整、细化、多链

• 那个 "朝向 "平稳的初始过渡被称为 "预烧期"，必须加以修整。
  • 怎么做？用眼睛看
• 采样过程（显然）是自相关的。
  • 如何做？通常是用眼看，用acf()作为指导。
     

• 为了保证你收敛到正确的分布，你通常会从不同的位置获得多条链（例如4条）。

• 有效样本量

MCMC 诊断法

R软件包帮助分析MCMC链。一个例子是线性回归的贝叶斯拟合（α,β,σ

plot(line)

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预烧部分:

plot(line[[1]], start=10)

MCMC诊断法

查看后验分布（同时评估收敛性）。

density(line)

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参数之间的关联性，以及链内的自相关关系

levelplot(line[[2]])
acfplot(line)

统计摘要

运行MCMC的工具（在R内部）

逻辑Logistic回归：婴儿出生体重低

logitmcmc(low~age+as.factor(race)+smoke )

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plot(mcmc)

MCMC与GLM逻辑回归的比较

MCMC与GLM逻辑回归的比较

对于这个应用，没有很好的理由使用贝叶斯建模，除非--你是 "贝叶斯主义者"。 你有关于回归系数的真正先验信息（这基本上是不太可能的）。

一个主要的缺点是 先验分布棘手的调整参数。

但是，MCMC可以拟合的一些更复杂的模型（例如，层次的logit MCMChlogit）。

Metropolis-Hastings

Metropolis-Hastings很好，很简单，很普遍。但是对循环次数很敏感。而且可能太慢，因为它最终会拒绝大量的循环。

Gibbs 采样

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在Gibbs吉布斯抽样中，你不是用适当的概率接受/拒绝，而是用适当的条件概率在参数空间中行进。 并从该分布中抽取一次。

然后你从新的条件分布中抽取下一个参数。

比Metropolis-Hastings快得多。有效样本量要高得多!

BUGS（OpenBUGS，WinBUGS）是使用吉布斯采样器的贝叶斯推理。

JAGS是 "吉布斯采样器"

其他采样器

汉密尔顿蒙特卡洛（HMC）--是一种梯度的Metropolis-Hastings，因此速度更快，对参数之间的关联性更好。

No-U Turn Sampler（NUTS）--由于不需要固定的长度，它的速度更快。这是STAN使用的方法（见http://arxiv.org/pdf/1111.4246v1.pdf）。

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(Hoffman and Gelman 2011)

其他工具

你可能想创建你自己的模型，使用贝叶斯MC进行拟合，而不是依赖现有的模型。为此，有几个工具可以选择。

• BUGS / WinBUGS / OpenBUGS (Bayesian inference Using Gibbs Sampling) - 贝叶斯抽样工具的鼻祖（自1989年起）。WinBUGS是专有的。OpenBUGS的支持率很低。

• JAGS（Just Another Gibbs Sampler）接受一个用类似于R语言的语法编写的模型字符串，并使用吉布斯抽样从这个模型中编译和生成MCMC样本。可以在R中使用rjags包。

• Stan（以Stanislaw Ulam命名）是一个类似于JAGS的相当新的程序--速度更快，更强大，发展迅速。从伪R/C语法生成C++代码。安装：http://mc-stan.org/rstan.html**

• Laplace’s Demon 所有的贝叶斯工具都在R中： http://www.bayesian-inference.com/software

STAN

 

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要用STAN拟合一个模型，步骤是:

1. 为模型生成一个STAN语法伪代码（在JAGS和BUGS中相同
2. 运行一个R命令，用C++语言编译该模型
3. 使用生成的函数来拟合你的数据

STAN示例--线性回归

STAN代码是R（例如，具有分布函数）和C（即你必须声明你的变量）之间的一种混合。每个模型定义都有三个块。

1.数据块:

  int n; //
  vector[n] y; // Y 向量

这指定了你要输入的原始数据。在本例中，只有Y和X，它们都是长度为n的（数字）向量，是一个不能小于0的整数。

2. 参数块

  real beta1;  // slope

这些列出了你要估计的参数：截距、斜率和方差。

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3. 模型块

    sigma ~ inv_gamma(0.001, 0.001); 

    yhat[i] <- beta0 + beta1 * (x[i] - mean(x));}
    y ~ normal(yhat, sigma); 

注意:

• 你可以矢量化，但循环也同样快
• 有许多分布（和 "平均值 "等函数）可用

请经常参阅手册！ https://github.com/stan-dev/stan/releases/download/v2.9.0/stan-reference-2.9.0.pdf

2. 在R中编译模型

你把你的模型保存在一个单独的文件中， 然后用stan_model()命令编译这个模型。

这个命令是把你描述的模型，用C++编码和编译一个NUTS采样器。相信我，自己编写C++代码是一件非常非常痛苦的事情（如果没有很多经验的话），而且它保证比R中的同等代码快得多。

注意：这一步可能会很慢。

3. 在R中运行该模型

这里的关键函数是sampling()。还要注意的是，为了给你的模型提供数据，它必须是列表的形式

模拟一些数据。

X <- runif(100,0,20)
Y <- rnorm(100, beta0+beta1*X, sigma)

进行取样!

sampling(stan, Data)

这里有大量的输出，因为它计算了

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print(fit, digits = 2)

MCMC诊断法

为了应用coda系列的诊断工具，你需要从STAN拟合对象中提取链，并将其重新创建为mcmc.list。

extract(stan.fit
alply(chains, 2, mcmc)

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