最大公约数与最小公倍数-每日一题-c语言

最大公约数与最小公倍数

题目描述

输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数。

输入

两个整数

输出

最大公约数，最小公倍数

样例输入

5 7

样例输出

1 35

代码1(直接法)：

#include 
int gcd(int a,int b)
{
	for(int i=a;i>=1;i--)
	{
		if(a%i!=0||b%i!=0)
			continue;
		else
			return i;
	} 
}
int lcm(int a,int b)
{
	int i,j;
	i=gcd(a,b); 
	j=a*b/i;
	return j;
}

int main()
{
	int a,b,i,j;
	scanf("%d%d",&a,&b);
	i=gcd(a,b);
	j=lcm(a,b);
	printf("%d %d",i,j);
	return 0;
} 

思路：将输入的两个数其中一个，进行循环递减，找到他们的共同的因数即为最大公因数。最小公倍数=a*b/最大公因数。

直接法思路简单，但输入数据较大时，时间复杂度高，这里不推荐测试数据量大的数据。

代码2（短除法）：

#include 
int main()
{
    int m, n;
    int j, k;
    int lcm, gcd = 1;
    scanf("%d %d", &m, &n); //输入m和n
    j = m, k = n;           //用j和k表示m和n，不破坏m与n的值
    if (j > k)
    {
        j = n, k = m; //确保j是较小的那个
    }
    for (int i = 2; i <= j; i++) //循环寻找从i到j的因子（注意j是可变的，而i会被重置）
    {
        if (j % i == 0 && k % i == 0) //判断i是否为j和k的公因子
        {
            j /= i;
            k /= i;   //j与k分别除以i
            gcd *= i; //gcd乘以i
            i = 1;    //将i重置为1 （循环末尾会i++）
        }
    }
    lcm = gcd * j * k;         //求出最小公倍数lcm
    printf("%d %d", gcd, lcm); //输出gcd与lcm
    return 0;
}

思路：

假设我们输入 m=12，n=18 ，初始化最大公约数 gcd=1

我们发现 2 是12和18的一个公因子

我们令 m /= 2 ，n /= 2 ，gcd *= 2

现在 m == 6 , n == 9 , gcd == 2

又发现 3 是 6 和 9 的一个公因子

我们令 m /= 3 , n /= 3 , gcd *= 3

现在m == 2 , n == 3 , gcd == 6

我们找不到除 1 以外的 2 和 3 的公因子了

所以现在的 gcd == 6 就是我们要找的最大公因数

而最小公倍数 lcm = gcd * m * n = 6 * 2 * 3 = 36

短除法可能便于理解，但效率其实并不理想，时间复杂度可以达到O(n)（当输入质数时）

代码3（辗转相除法）:

#include 
 
int gcd(int a, int b) 
{
    return (a % b == 0) ? b : gcd(b, a % b); 
}
 
int main()
{
    int m, n;
    scanf("%d %d", &m, &n); 
    int ans = gcd(m, n);
    printf("%d %d\n", ans, m * n / ans);
    return 0;
}

思路：

辗转相除法是一种用于计算两个整数最大公约数的算法，核心是运用了 gcd( a, b ) = gcd( b, a mod b ) 这一公式（其中 b != 0 ）

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