椭圆曲线：椭圆曲线是怎么来的？

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发展

下边概括性地说明下，椭圆曲线的诞生，和历史也许有些出入，但问题不大，完全可以帮助大家理解，椭圆曲线如何诞生！

1、事情要从一个古老问题“勾股弦”说起，在明白勾与股各自平方相加开方得到弦后。

2、慢慢地，包括阿拉伯人在内的一群人，想要获取一个更加完美的直角三角形，即有理三角形，这个三角形不仅满足勾与股均为有理数，还可以让面积为“正整数”！！！

试想一下，如果建筑学、密码学、生物学、化学…都引入了这样一个三角形结构，简直太完美了，你可以提出正整数需求，而知道方法的人们立马就可以给出一个这样的三角形。正整数的东西很好用，效率也高，不然也不会说“正整数”是神创造的！

3、经过岁月的发展，人们将勾股弦定理与面积需求结合，推到了一个满足x-n，x，x+n三个平方数类型数据的等差数列。并且巧妙地发现：这三个数之间相互同余！！！

为此，那群包括阿拉伯人在内的人给了一个定义，他们把之前那个完美三角形的面积n定义为同余数，而同余体现在了三个平方数上。

这个发现之后，人们可以在已知一个数n是同余数的前提下，去寻找勾和弦，就是通过先求x的方式，虽然很计算量还是很大，但方向有了。

4、可绝望的是，人们要怎么知道前提条件n是不是一个同余数？这听上去就很难。为此，一批批人开始尝试…

终于，随着方程组与函数理论的发展，各种巨人的贡献，椭圆曲线诞生了！！一门新的学科，融合了数论、函数、群域环等集合论的超级数学分支学科。

5、将原先三个平方数的等差数列改为不定方程，人们发现这就是椭圆曲线En，只需要求En存在非平凡解(x,y)，则可以满足n为同余数。（还可以画图看了，比如y² = x³ - 25x）

同时地，同余数确定问题 已经转化为 椭圆曲线En问题了。

从“勾弦股”问题，到求“同余数”，再到解“椭圆曲线”，三者相互关联，我们终于找到了完美的面积为正整数n的有理直角三角形。

说明

当然，只从历史去概括椭圆曲线，细节不足，也许还是不好理解EC与勾弦股、同余数有啥关系。但可以先记住出现的一些关键词，后面会详细说明提及的等差数列、同余数问题CNP、不定方程都是一些啥。

这里，先做其中一些概念的说明。

1、整除和同余。

下面放张图，电脑写的，字不是很好。如果看不懂可以右键新建标签再搜搜，但乱的东西，说不定能激发你看的欲望。

2、同余数。

这么简单说吧，如果一个有理三角形的面积为整数n，那么这个n就叫做“同余数”。

3、同余数问题CNP。

寻找一种“简单方便、行之有效”的判别法则，来决定一个正整数n是否为同余数。同余数问题也是一个“悬而未决”的难题，对于一个大于1的正整数n，要确定其是否为同余数并不容易，就算知道n是同余数，要求出n相应的直角三角形三边，也不容易。

未证明猜想：

4、方程角度处理CNP。

解到最后，可以得到：

也就是说，我们需要找一个有理数x，使得等差数列中三个有理数x-n，x，x+n都是平方数，这个n就是等差数列的“公差”。

从“同余”观点看，这个等差数列三个数在模n下同余。这大概也是为什么阿拉伯人会称n为同余数的原因。

n本身并不和其他数同余，n本身只是等差数列的一个“公差”，而以这个公差n为模，等差数列的三个数互为同余。

5、从数列到椭圆曲线。

如果x-n，x，x+n中的x存在，则有

由于等差数列中各项均是平方数，因此其乘积必定为平方数，从而可得

这样，确定n是不是同余数的问题，就归结到确定三次不定方程En是否有有理解的问题。

当且仅当En方程有除了三个“平凡解”之外的“非平凡解”，即“非零解(x,y)”，其中y≠0。也就是当且仅当方程En有无穷多个解（因为只要有一个非零解，就有无穷多个非零解）。

小结

本节讲了椭圆曲线是如何一步步慢慢引导出来的，并补充了一些概念性的知识，帮助理解。数学本就是一个闭合的东西，最简单的可以推到最复杂的，最复杂的也能由最简单的来解释。