朝题夕解——动态规划之整数划分模型

整数划分类DP问题的常规解决思想

整数划分类型的DP有时候也被叫做计数类DP。称呼不同，都是它啦~。我这篇博客的话，主要想记录一下在这种DP问中经常会使用的映射思想。并不是总结怎么拿捏这种类型的DP

求学于acwing门下的师兄师姐们看到DP问题，心中大抵都在对状态表示和状态计算打小算盘了吧。这里先借用一下师兄的总结，系统的看一下DP思考方向。

• 我对"状态表示"的理解

状态表示的常规玩法是题目问什么，咱们就定义出一个集合来表示这个问题。 因为这个集合数组最终是要存放一个数据，这就是集合的属性。 比如题目问的意思是N个物品，容积为V的背包最多可以获得的最大价值是多少。那么这个集合数组就就可以定义为f[i][j]，属性就选最大值。它们表示的意思是i个物品下，容积为j时，可以获得的最大值。

• 我对"状态计算"的理解

状态计算对应的是对所构建的集合进行不重不漏的划分，划分的依据大多是题目中的最后一个不同点。

实战练习

题目描述

原题传送门

解题报告

状态表示：

集合：$f(i,j)$表示使用$j$个数能够凑成总和为$i$的方案的集合
属性：$f[i,j]$中存放的是这些方案的数量

状态计算：

题目中提到一个正整数 n可以表示成若干个正整数之和，咱们的数学常识中可以知道，正整数是大于等于1的数。

题目中规定了$n_1>=n_2>=...>=n_k,k>=1$。1这个数就可以选为最后一个不同点。为什么这么说了，一个方案，要么最后不得不需要一个1来调和，要么直接就可以不需要1的。

因此就可以将j个数中的最小值是否是1选为不同点。

---

对于最小值是1的情况：

使用$j$个数凑出总和$i$。这$j$个数的最小值为1，那么去掉一个1，则状态状态转移方程可以表示为：
$f[i,j]$ = $f[i-1,j-1]$。

最小值不是1的情况:

使用映射的思想进行处理

使用$j$个数凑出总和$i$。这$j$个数的最小值不为1，那么将这个$j$个数都去掉一个1，此时在方案的数量不发生改变的情况下，变成了是最小值是1的情况。
$f[i,j]$ = $f[i-j,j]$

通过这种方式，成功的将集合不重不漏的划分出来了。将两种集合划分的情况相加，就是可以得到的全部方案的数量

$f[i,j]$ = $f[i-1,j]$ + $f[i-j,j]$

---

将上面的分析过程进行归纳，就可以得到如下这张清晰的DP分析图

具体落实到代码上，就是如下的样子了。

参考代码(C++版本)

#include 

using namespace std;
const int N  = 1010, MOD = 1e9+7;
int f[N][N];//集合：f(i,j)表示使用j个数能够凑成总和为i的方案的集合
int n;


int main()
{
    scanf("%d",&n);
    
    f[0][0]  = 1;
    
    for(int i = 1; i <= n;i++)
        for(int j = 1; j <= i;j++)
        {
            f[i][j] += (f[i-1][j-1]+f[i-j][j])%MOD;
        }
      
     
    // 最后统计出所有得到的总和为n的方案数 
    int res = 0;
    for(int i = 1;i <= n;i++) res = (res+f[n][i])%MOD;
    
    printf("%d\n",res);
    return 0;
}

推导演练

题目描述

原题传送门

解题报告

这道题和上一题相比，就是换汤不换药了。唯一的区别是这一题中最小值可以为0。

状态表示：

集合$f(i,j)$表示总数为$i$,且划分个数为j的方案的集合
集合的属性是Count

状态计算：

情况一：使用$j$个数凑成$i$。这$j$个数的最小值为0的集合，那么去掉一个0，则状态转移方程为：
$f[i,j]$ = $f[i,j-1]$。

情况二：使用映射的思想处理最小值不是0的情况。

使用$j$个数凑成$i$。这$j$个数的最小值不为0的集合，那么将这个j个数都去掉一个1，此时在方案数的总数量不发生改变的情况下，变成咱们熟悉的情况一
$f[i,j]$ = $f[i-j,j]$

将两种集合划分的情况相加，就是可以得到的全部方案的数量

$f[i,j]$ = $f[i,j-1]$ + $f[i-j,j]$

同样的，可以得到如下的DP分析图

结合DP分析图，逐渐将代码落实

参考代码(C++版本)

#include 
#include 

const int N = 15;

int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    
    //输入t组测试数据
    while(t--)
    {
        //查克拉能量为 M，他影分身的个数最多为 N
        int m,n;
        scanf("%d %d",&m,&n);
        
        int f[N][N] = {0};
        
        
        //开始DP之前，思考边界问题
        f[0][0] = 1;//0查克拉造0个影分身是一种方案
        
        //这里容易出错，结合着对集合的定义和题意进行理解
        for(int i = 0;i <= m;i++)
            for(int j = 1; j <= n;j++)
            {
                //两种集合划分的情况
                f[i][j] += f[i][j-1];
                if(i >= j) f[i][j] += f[i-j][j];
            }
        //输出结果
        printf("%d\n",f[m][n]);
    }
    return 0;
}

小总结

状态表示和确定属性比较容易，怎么将集合化整为零的状态计算比较棘手，只是这里处理好，一道DP问题也就差不多可以解决了。本篇也主要是想总结用于状态计算中的一个小技巧——映射。