神经网络入门

神经网络入门

神经网络的核心组件，即 层、 网络、 目标函数和 优化器。

1、神经网络剖析

• 训练神经网络主要围绕以下四个方面：

  1. 层，多个层组合成网络（或模型）；
  2. 输入数据和相应的目标；
  3. 损失函数，即用于学习的反馈信号；
  4. 优化器，决定学习过程如何进行。

• 层：深度学习的基础组件

  神经网络的基本数据结构是层。层是一个数据处理模块，将一个或多个输入张量转换为一个或多个输出张量。

  有些层是无状态的，但大多数的层是有状态的，即层的权重。权重是利用随机梯度下降学到的一个或多个张量，其中包含网络的知识。

  不同的张量格式与不同的数据处理类型需要用到不同的层：

  1. 简单的向量数据保存在形状为 (samples, features) 的 2D 张量中，通常用密集连接层［ densely connected layer，也叫全连接层（ fully connected layer）或密集层（ dense layer），对应于 Keras 的 Dense 类］来处理；
  2. 序列数据保存在形状为 (samples, timesteps, features) 的 3D 张量中，通常用循环层（ recurrent layer，比如 Keras 的 LSTM 层）来处理；
  3. 图像数据保存在 4D 张量中，通常用二维卷积层（ Keras 的 Conv2D）来处理。

  在 Keras 中，构建深度学习模型就是将相互兼容的多个层拼接在一起，以建立有用的数据变换流程。这里层兼容性（ layer compatibility）具体指的是每一层只接受特定形状的输入张量，并返回特定形状的输出张量。

  from keras import layers
  
  layers = layers.Dense(32, input_shape=(784,))
  

  我们创建了一个层，只接受第一个维度大小为 784 的 2D 张量（第 0 轴是批量维度，其大小没有指定，因此可以任意取值）作为输入。这个层将返回一个张量，第一个维度的大小变成了 32。

  因此，这个层后面只能连接一个接受 32 维向量作为输入的层。使用 Keras 时，你无须担心兼容性，因为向模型中添加的层都会自动匹配输入层的形状：

  from keras import models
  from keras import layers
  
  model = models.Sequential()
  model.add(layers.Dense(32, input_shape=(784,)))
  model.add(layers.Dense(32))
  

  其中第二层没有输入形状（ input_shape）的参数，相反，它可以自动推导出输入形状等于上一层的输出形状。

• 模型：层构成的网络

  深度学习模型是层构成的有向无环图。

  网络的拓扑结构定义了一个假设空间（ hypothesis space）。之前机器学习的定义：“在预先定义好的可能性空间中，利用反馈信号的指引来寻找输入数据的有用表示。”选定了网络拓扑结构，意味着将可能性空间（假设空间）限定为一系列特定的张量运算，将输入数据映射为输出数据。然后，你需要为这些张量运算的权重张量找到一组合适的值。

• 损失函数与优化器：配置学习过程的关键

  一旦确定了网络架构，你还需要选择以下两个参数：

  1. 损失函数（ 目标函数）——在训练过程中需要将其最小化。它能够衡量当前任务是否已成功完成；
  2. 优化器——决定如何基于损失函数对网络进行更新。它执行的是随机梯度下降（ SGD）的某个变体。

  具有多个输出的神经网络可能具有多个损失函数（每个输出对应一个损失函数）。但是，梯度下降过程必须基于单个标量损失值。因此，对于具有多个损失函数的网络，需要将所有损失函数取平均，变为一个标量值。

  一定要明智地选择目标函数，否则你将会遇到意想不到的副作用：

  1. 对于二分类问题，你可以使用二元交叉熵（ binary crossentropy）损失函数；
  2. 对于多分类问题，可以用分类交叉熵（ categorical crossentropy）损失函数；
  3. 对于回归问题，可以用均方误差（ mean-squared error）损失函数；
  4. 对于序列学习问题，可以用联结主义时序分类（ CTC， connectionist temporal classification）损失函数。

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2、Keras

• 使用 Keras 开发：概述

  典型的 Keras 工作流程：

  1. 定义训练数据：输入张量和目标张量；
  2. 定义层组成的网络（或模型），将输入映射到目标；
  3. 配置学习过程：选择损失函数、优化器和需要监控的指标；
  4. 调用模型的 fit 方法在训练数据上进行迭代。

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3、电影评论分类：二分类问题

• 准备数据

  与 MNIST 数据集一样， IMDB 数据集也内置于 Keras 库。它已经过预处理：评论（单词序列）已经被转换为整数序列，其中每个整数代表字典中的某个单词。

  from keras.datasets import imdb
  
  (train_data, train_labels), (test_data, test_labels) = imdb.load_data(num_words=10000)
  

  参数 num_words=10000 的意思是仅保留训练数据中前 10 000 个最常出现的单词。

  train_data 和 test_data 这两个变量都是评论组成的列表，每条评论又是单词索引组成的列表（表示一系列单词）。train_labels 和 test_labels 都是 0 和 1 组成的列表，其中 0代表负面（ negative）， 1 代表正面（ positive）。

  你不能将整数序列直接输入神经网络。你需要将列表转换为张量。转换方法有以下两种：

  1. 填充列表，使其具有相同的长度，再将列表转换成形状为 (samples, word_indices) 的整数张量，然后网络第一层使用能处理这种整数张量的层；
  2. 对列表进行 one-hot 编码，将其转换为 0 和 1 组成的向量。举个例子，序列 [3, 5] 将会被转换为 10 000 维向量，只有索引为 3 和 5 的元素是 1，其余元素都是 0。然后网络第一层可以用 Dense 层，它能够处理浮点数向量数据。

  import numpy as np
  def vectorize_sequences(sequences, dimension=10000):
      results = np.zeros((len(sequences), dimension))
      for i, sequence in enumerate(sequences):
          results[i, sequence] = 1.
      return results
  
  x_train = vectorize_sequences(train_data)
  x_test = vectorize_sequences(test_data)
  

  你还应该将标签向量化：

  y_train = np.asarray(train_labels).astype('float32')
  y_test = np.asarray(test_labels).astype('float32')
  

• 构建网络

  输入数据是向量，而标签是标量（1 和 0），这是你会遇到的最简单的情况。有一类网络在这种问题上表现很好，就是带有 relu 激活的全连接层（Dense）的简单堆叠，比如 Dense(16, activation=‘relu’)。

  传入 Dense 层的参数（16）是该层隐藏单元的个数。一个隐藏单元（hidden unit）是该层表示空间的一个维度。每个带有 relu 激活的 Dense 层都实现了下列张量运算：
  $$output=relu(dot(W,input)+b)$$
  16 个隐藏单元对应的权重矩阵 W 的形状为 (input_dimension, 16)，与 W 做点积相当于将输入数据投影到 16 维表示空间中（然后再加上偏置向量 b 并应用 relu 运算）。

  你可以将表示空间的维度直观地理解为 “网络学习内部表示时所拥有的自由度”。隐藏单元越多（即更高维的表示空间），网络越能够学到更加复杂的表示，但网络的计算代价也变得更大，而且可能会导致学到不好的模式（这种模式会提高训练数据上的性能，但不会提高测试数据上的性能）。

  对于这种 Dense 层的堆叠，你需要确定以下两个关键架构：

  1. 网络有多少层？
  2. 每层有多少个隐藏单元？

  选择的架构：

  1. 两个中间层，每层都有 16 个隐藏单元；
  2. 第三层输出一个标量，预测当前评论的情感。

  from keras import models
  from keras import layers
  
  model = models.Sequential()
  model.add(layers.Dense(16, activation='relu', input_shape=(10000,)))
  model.add(layers.Dense(16, activation='relu'))
  model.add(layers.Dense(1, activation='sigmoid'))
  

  中间层使用 relu 作为激活函数，最后一层使用 sigmoid 激活以输出一个 0~1 范围内的概率值（表示样本的目标值等于 1 的可能性，即评论为正面的可能性）。

  • relu（ rectified linear unit，整流线性单元）函数将所有负值归零；
  • 而 sigmoid 函数则将任意值 “压缩” 到 [0,1] 区间内，其输出值可以看作概率值。

  

  什么是激活函数？为什么要使用激活函数？

  如果没有 relu 等激活函数（也叫非线性）， Dense 层将只包含两个线性运算——点积和加法：
  $$output=dot(W,input)+b$$
  这样 Dense 层就只能学习输入数据的线性变换（仿射变换）：该层的假设空间是从输入数据到 16 位空间所有可能的线性变换集合。这种假设空间非常有限，无法利用多个表示层的优势，因为多个线性层堆叠实现的仍是线性运算，添加层数并不会扩展假设空间。

  为了得到更丰富的假设空间，从而充分利用多层表示的优势，你需要添加非线性或激活函数。

  最后，你需要选择损失函数和优化器：

  1. 由于你面对的是一个二分类问题，网络输出是一个概率值（网络最后一层使用 sigmoid 激活函数，仅包含一个单元），那么最好使用 binary_crossentropy（二元交叉熵）损失；
  2. 优化器选择 rmsprop 优化器。

  下面的步骤是用 rmsprop 优化器和 binary_crossentropy 损失函数来配置模型。注意，我们还在训练过程中监控精度：

  model.compile(optimizer='rmsprop',
                loss='binary_crossentropy',
                metrics=['accuracy'])
  

  上述代码将优化器、损失函数和指标作为字符串传入，这是因为 rmsprop、 binary_crossentropy 和 accuracy 都是 Keras 内置的一部分。有时你可能希望配置自定义优化器的参数，或者传入自定义的损失函数或指标函数。前者可通过向 optimizer 参数传入一个优化器类实例来实现。后者可通过向 loss 和 metrics 参数传入函数对象来实现。

• 验证你的方法

  为了在训练过程中监控模型在前所未见的数据上的精度，你需要将原始训练数据留出 10 000个样本作为验证集：

  现在使用 512 个样本组成的小批量，将模型训练 20 个轮次（即对 x_train 和 y_train 两个张量中的所有样本进行 20 次迭代）。

  与此同时，你还要监控在留出的 10 000 个样本上的损失和精度。你可以通过将验证数据传入 validation_data 参数来完成：

  history = model.fit(partial_x_train,
                      partial_y_train,
                      epochs=20,
                      batch_size=512,
                      validation_data=(x_val, y_val))
  

  注意，调用 model.fit() 返回了一个 History 对象。这个对象有一个成员 history，它是一个字典，包含训练过程中的所有数据：

  history_dict = history.history
  history_dict.keys() #dict_keys(['loss', 'accuracy', 'val_loss', 'val_accuracy'])
  

  字典中包含 4 个条目，对应训练过程和验证过程中监控的指标。

  使用 Matplotlib 在同一张图上绘制训练损失和验证损失，以及训练精度和验证精度：

  import matplotlib.pyplot as plt
  
  history_dict = history.history
  loss_values = history_dict['loss']
  val_loss_values = history_dict['val_loss']
  
  epochs = range(1, len(loss_values) + 1)
  
  plt.plot(epochs, loss_values, 'bo', label='Training loss')
  plt.plot(epochs, val_loss_values, 'b', label='Validation loss')
  plt.title('Training and validation loss')
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Loss')
  plt.legend()
  
  plt.show()
  

  plt.clf()
  acc = history_dict['accuracy']
  val_acc = history_dict['val_accuracy']
  
  plt.plot(epochs, acc, 'bo', label='Training accuracy')
  plt.plot(epochs, val_acc, 'b', label='Validation accuracy')
  plt.title('Training and validation accuracy')
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Accuracy')
  plt.legend()
  
  plt.show()
  

  这里产生了过拟合（overfit）。

• 使用训练好的网络在新数据上生成预测结果

  训练好网络之后，你希望将其用于实践。你可以用 predict 方法来得到评论为正面的可能性大小：

  model.predict(x_test)
  

总结

1. 通常需要对原始数据进行大量预处理，以便将其转换为张量输入到神经网络中。单词序列可以编码为二进制向量，但也有其他编码方式；
2. 带有 relu 激活的 Dense 层堆叠，可以解决很多种问题（包括情感分类）；
3. 对于二分类问题（两个输出类别），网络的最后一层应该是只有一个单元并使用 sigmoid 激活的 Dense 层，网络输出应该是 0~1 范围内的标量，表示概率值；
4. 对于二分类问题的 sigmoid 标量输出，你应该使用 binary_crossentropy 损失函数；
5. 无论你的问题是什么， rmsprop 优化器通常都是足够好的选择；
6. 随着神经网络在训练数据上的表现越来越好，模型最终会过拟合，并在前所未见的数据上得到越来越差的结果。一定要一直监控模型在训练集之外的数据上的性能。

---

4、新闻分类：多分类问题

因为每个数据点只能划分到一个类别，所以更具体地说，这是单标签、多分类（ single-label, multiclass classification）问题的一个例子。

如果每个数据点可以划分到多个类别（主题），那它就是一个多标签、多分类（ multilabel, multiclass classification）问题。

• 准备数据

  from keras.datasets import reuters
  
  (train_data, train_labels), (test_data, test_labels) = reuters.load_data(num_words=10000)
  

  与 IMDB 评论一样，每个样本都是一个整数列表（表示单词索引）。

  import numpy as np
  
  def vectorize_sequences(sequences, dimension=10000):
      results = np.zeros((len(sequences), dimension))
      for i, sequence in enumerate(sequences):
          results[i, sequence] = 1.
      return results
  
  x_train = vectorize_sequences(train_data)
  x_test = vectorize_sequences(test_data)
  

  将标签向量化有两种方法：你可以将标签列表转换为整数张量，或者使用 one-hot 编码。one-hot 编码是分类数据广泛使用的一种格式，也叫分类编码（ categorical encoding）。

  from keras.utils.np_utils import to_categorical
  
  one_hot_train_labels = to_categorical(train_labels)
  one_hot_test_labels = to_categorical(test_labels)
  

• 构建网络

  这个主题分类问题与前面的电影评论分类问题类似，两个例子都是试图对简短的文本片段进行分类。但这个问题有一个新的约束条件：输出类别的数量从 2 个变为 46 个。输出空间的维度要大得多。

  对于前面用过的 Dense 层的堆叠，每层只能访问上一层输出的信息。每一层都可能成为信息瓶颈。上一个例子使用了 16 维的中间层，但对这个例子来说 16 维空间可能太小了，无法学会区分 46 个不同的类别。下面将使用维度更大的层，包含 64 个单元。

  from keras import models
  from keras import layers
  
  model = models.Sequential()
  model.add(layers.Dense(64, activation='relu', input_shape=(10000,)))
  model.add(layers.Dense(64, activation='relu'))
  model.add(layers.Dense(46, activation='softmax'))
  

  关于这个架构还应该注意另外两点：

  1. 网络的最后一层是大小为 46 的 Dense 层。这意味着，对于每个输入样本，网络都会输出一个 46 维向量。这个向量的每个元素（即每个维度）代表不同的输出类别；
  2. 最后一层使用了 softmax 激活。你在 MNIST 例子中见过这种用法。网络将输出在 46 个不同输出类别上的概率分布——对于每一个输入样本，网络都会输出一个 46 维向量，其中 output[i] 是样本属于第 i 个类别的概率。 46 个概率的总和为 1。

  对于这个例子，最好的损失函数是 categorical_crossentropy（分类交叉熵）。它用于衡量两个概率分布之间的距离，这里两个概率分布分别是网络输出的概率分布和标签的真实分布。通过将这两个分布的距离最小化，训练网络可使输出结果尽可能接近真实标签。

  model.compile(optimizer='rmsprop',
                loss='categorical_crossentropy',
                metrics=['accuracy'])
  

• 验证你的方法

  我们在训练数据中留出 1000 个样本作为验证集。

  x_val = x_train[:1000]
  partial_x_train = x_train[1000:]
  
  y_val = one_hot_train_labels[:1000]
  partial_y_train = one_hot_train_labels[1000:]
  

  开始训练网络，共 20 个轮次。

  history = model.fit(partial_x_train,
                      partial_y_train,
                      epochs=20,
                      batch_size=512,
                      validation_data=(x_val, y_val))
  

  最后，我们来绘制损失曲线和精度曲线：

  import matplotlib.pyplot as plt
  
  loss = history.history['loss']
  val_loss = history.history['val_loss']
  
  epochs = range(1, len(loss) + 1)
  
  plt.plot(epochs, loss, 'bo', label='Training loss')
  plt.plot(epochs, val_loss, 'b', label='Validation loss')
  plt.title('Training and validation loss')
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Loss')
  plt.legend()
  
  plt.show()
  

  plt.clf()
  
  acc = history.history['accuracy']
  val_acc = history.history['val_accuracy']
  
  plt.plot(epochs, acc, 'bo', label='Training accuracy')
  plt.plot(epochs, val_acc, 'b', label='Validation accuracy')
  plt.title('Training and validation accuracy')
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Accuracy')
  plt.legend()
  
  plt.show()
  

• 在新数据上生成预测结果

  你可以验证，模型实例的 predict 方法返回了在 46 个主题上的概率分布。我们对所有测试数据生成主题预测。

  predictions = model.predict(x_test)
  

  predictions 中的每个元素都是长度为 46 的向量：

  predictions[0].shape #(46,)
  

  这个向量的所有元素总和为 1。

  np.sum(predictions[0]) #1
  

  最大的元素就是预测类别，即概率最大的类别。

  np.argmax(predictions[0]) #3
  

总结

1. 如果要对 N 个类别的数据点进行分类，网络的最后一层应该是大小为 N 的 Dense 层；
2. 对于单标签、多分类问题，网络的最后一层应该使用 softmax 激活，这样可以输出在 N个输出类别上的概率分布；
3. 这种问题的损失函数几乎总是应该使用分类交叉熵。它将网络输出的概率分布与目标的真实分布之间的距离最小化；
4. 处理多分类问题的标签有两种方法：
   1. 通过分类编码（也叫 one-hot 编码）对标签进行编码，然后使用 categorical_crossentropy 作为损失函数；
   2. 将标签编码为整数，然后使用 sparse_categorical_crossentropy 损失函数。
5. 如果你需要将数据划分到许多类别中，应该避免使用太小的中间层，以免在网络中造成信息瓶颈。

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5、预测房价：回归问题

1. 分类问题

   其目标是预测输入数据点所对应的单一离散的标签；

2. 回归问题

   它预测一个连续值而不是离散的标签。

• 准备数据

  它包含的数据点相对较少，只有 506 个，分为 404 个训练样本和 102 个测试样本。输入数据的每个特征（比如犯罪率）都有不同的取值范围。

  from keras.datasets import boston_housing
  
  (train_data, train_targets), (test_data, test_targets) = boston_housing.load_data()
  

  我们有 404 个训练样本和 102 个测试样本，每个样本都有 13 个数值特征，比如人均犯罪率、每个住宅的平均房间数、高速公路可达性等。

  将取值范围差异很大的数据输入到神经网络中，这是有问题的。网络可能会自动适应这种取值范围不同的数据，但学习肯定变得更加困难。对于这种数据，普遍采用的最佳实践是对每个特征做标准化，即对于输入数据的每个特征（输入数据矩阵中的列），减去特征平均值，再除以标准差，这样得到的特征平均值为 0，标准差为 1。

  mean = train_data.mean(axis=0)
  train_data -= mean
  std = train_data.std(axis=0)
  train_data /= std
  
  test_data -= mean
  test_data /= std
  

  注意，用于测试数据标准化的均值和标准差都是在训练数据上计算得到的。在工作流程中，你不能使用在测试数据上计算得到的任何结果，即使是像数据标准化这么简单的事情也不行。

• 构建网络

  使用一个非常小的网络，其中包含两个隐藏层，每层有 64 个单元。一般来说，训练数据越少，过拟合会越严重，而较小的网络可以降低过拟合。

  from keras import models
  from keras import layers
  
  def build_model():
      model = models.Sequential()
      model.add(layers.Dense(64, activation='relu',
                                 input_shape=(train_data.shape[1],)))
      model.add(layers.Dense(64, activation='relu'))
      model.add(layers.Dense(1))
      
      model.compile(optimizer='rmsprop', loss='mse', metrics=['mae'])
      return model
  

  网络的最后一层只有一个单元，没有激活，是一个线性层。这是标量回归（标量回归是预测单一连续值的回归）的典型设置。添加激活函数将会限制输出范围。例如，如果向最后一层添加 sigmoid 激活函数，网络只能学会预测 0~1 范围内的值。这里最后一层是纯线性的，所以网络可以学会预测任意范围内的值。

  编译网络用的是 mse 损失函数，即均方误差（ MSE， mean squared error），预测值与目标值之差的平方。这是回归问题常用的损失函数。

  在训练过程中还监控一个新指标： 平均绝对误差（ MAE， mean absolute error）。它是预测值与目标值之差的绝对值。

• 利用 K 折验证来验证你的方法

  为了在调节网络参数（比如训练的轮数）的同时对网络进行评估，你可以将数据划分为训练集和验证集，正如前面例子中所做的那样。但由于数据点很少，验证集会非常小（比如大约 100 个样本）。因此，验证分数可能会有很大波动，这取决于你所选择的验证集和训练集。也就是说，验证集的划分方式可能会造成验证分数上有很大的方差，这样就无法对模型进行可靠的评估。

  在这种情况下，最佳做法是使用 K 折交叉验证。这种方法将可用数据划分为 K 个分区（ K 通常取 4 或 5），实例化 K 个相同的模型，将每个模型在 K-1 个分区上训练，并在剩下的一个分区上进行评估。模型的验证分数等于 K 个验证分数的平均值。

  

  import numpy as np
  
  k = 4
  num_val_samples = len(train_data) // k
  num_epochs = 100
  all_scores = []
  
  for i in range(k):
      print('processing fold #', i)
      val_data = train_data[i * num_val_samples: (i + 1) * num_val_samples] #准备验证数据：第k个分区的数据
      val_targets = train_targets[i * num_val_samples: (i + 1) * num_val_samples]
      
      partial_train_data = np.concatenate( #准备训练数据，其他分区的数据
          [train_data[:i * num_val_samples],
          train_data[(i + 1) * num_val_samples:]],
          axis=0)
      partial_train_targets = np.concatenate(
          [train_targets[:i * num_val_samples],
          train_targets[(i + 1) * num_val_samples:]],
          axis=0)
      
      model = build_model() #构建Keras模型，已编译
      model.fit(partial_train_data, partial_train_targets, #训练模型，静默模型：verbose=0
          epochs=num_epochs, batch_size=1, verbose=0)
      val_mse, val_mae = model.evaluate(val_data, val_targets, verbose=0) #在验证数据上评估模型
      all_scores.append(val_mae)
  

  我们让训练时间更长一点，达到 500 个轮次。为了记录模型在每轮的表现，我们需要修改训练循环，以保存每轮的验证分数记录。

  import numpy as np
  
  k = 4
  num_val_samples = len(train_data) // k
  num_epochs = 500
  all_mae_histories = []
  all_scores = []
  
  for i in range(k):
      print('processing fold #', i)
      val_data = train_data[i * num_val_samples: (i + 1) * num_val_samples] #准备验证数据：第k个分区的数据
      val_targets = train_targets[i * num_val_samples: (i + 1) * num_val_samples]
      
      partial_train_data = np.concatenate( #准备训练数据，其他分区的数据
          [train_data[:i * num_val_samples],
          train_data[(i + 1) * num_val_samples:]],
          axis=0)
      partial_train_targets = np.concatenate(
          [train_targets[:i * num_val_samples],
          train_targets[(i + 1) * num_val_samples:]],
          axis=0)
      
      model = build_model() #构建Keras模型，已编译
      history = model.fit(partial_train_data, partial_train_targets, #训练模型，静默模型：verbose=0
                validation_data = (val_data, val_targets),
                epochs=num_epochs, batch_size=1, verbose=0)
      # print(history.history.keys())
      mae_history = history.history['val_mae']
      all_mae_histories.append(mae_history)
  

  然后你可以计算每个轮次中所有折 MAE 的平均值：

  average_mae_history = [np.mean([x[i] for x in all_mae_histories]) for i in range(num_epochs)]
  

  import matplotlib.pyplot as plt
  
  plt.plot(range(1, len(average_mae_history) + 1), average_mae_history)
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Validation MAE')
  plt.show()
  

  因为纵轴的范围较大，且数据方差相对较大，所以难以看清这张图的规律。我们来重新绘制一张图：

  1. 删除前 10 个数据点，因为它们的取值范围与曲线上的其他点不同；
  2. 将每个数据点替换为前面数据点的指数移动平均值，以得到光滑的曲线。

  def smooth_curve(points, factor=0.9):
      smoothed_points = []
      for point in points:
          if smoothed_points:
              previous = smoothed_points[-1]
              smoothed_points.append(previous * factor + point * (1 - factor))
          else:
              smoothed_points.append(point)
      return smoothed_points
  
  smooth_mae_history = smooth_curve(average_mae_history[10:])
  
  plt.plot(range(1, len(smooth_mae_history) + 1), smooth_mae_history)
  plt.xlabel('Epochs')
  plt.ylabel('Validation MAE')
  plt.show()
  

  完成模型调参之后（除了轮数，还可以调节隐藏层大小），你可以使用最佳参数在所有训练数据上训练最终的生产模型，然后观察模型在测试集上的性能：

  model = build_model()
  model.fit(train_data, train_targets,
              epochs=80, batch_size=16, verbose=0)
  test_mse_score, test_mae_score = model.evaluate(test_data, test_targets)
  

总结

1. 回归问题使用的损失函数与分类问题不同。回归常用的损失函数是均方误差（MSE）；
2. 同样，回归问题使用的评估指标也与分类问题不同。显而易见，精度的概念不适用于回归问题。常见的回归指标是平均绝对误差（ MAE）。
3. 如果输入数据的特征具有不同的取值范围，应该先进行预处理，对每个特征单独进行缩放；
4. 如果可用的数据很少，使用 K 折验证可以可靠地评估模型；
5. 如果可用的训练数据很少，最好使用隐藏层较少（通常只有一到两个）的小型网络，以避免严重的过拟合。

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6、总结

1. 在将原始数据输入神经网络之前，通常需要对其进行预处理；
2. 如果数据特征具有不同的取值范围，那么需要进行预处理，将每个特征单独缩放；
3. 随着训练的进行，神经网络最终会过拟合，并在前所未见的数据上得到更差的结果；
4. 如果训练数据不是很多，应该使用只有一两个隐藏层的小型网络，以避免严重的过拟合；
5. 如果数据被分为多个类别，那么中间层过小可能会导致信息瓶颈；
6. 回归问题使用的损失函数和评估指标都与分类问题不同；
7. 如果要处理的数据很少， K 折验证有助于可靠地评估模型。