1 线性方程组的解法

1 线性方程组的解法

1.1 解线性方程组的矩阵消元法

1、线性方程组:左端为未知量x的一次齐次式,右端是常数。关键词:系数、常数项、n元线性方程组、解集

2、线性方程组的初等变换:1)把一个方程的倍数加到另一个方程上;2)互换两个方程位置;3)用一个非零数乘其中一个方程

3、关键词:阶梯型方程组、简化阶梯型方程组、增广矩阵、系数矩阵、零矩阵、方阵、m级矩阵(方阵)、矩阵的初等变换

4、阶梯型矩阵:1)零行在下方(如果有零行的话);2)非零行从左边起第一个不为0的元素(称为主元),它们的列指标随行指标的递增而严格增大。

5、简化行阶梯形矩阵:1)是阶梯型矩阵;2)非零行的主元为1;3)主元所在列的其余元素为0。

6、定理1:任意一个矩阵都可以经过一系类初等行变换化成阶梯形矩阵。
证明:

7、推论1:任意一个矩阵都可以经过一系类初等行变换化成简化阶梯形矩

8、线性方程组的一般解:以主元为系数的未知量称为主变量,其余未知量为自由未知量,一般解就是用含自由未知量的式子表示主变量。

1.2线性方程组的解的情况及其判别准则

1、定理1:系数为有理数(或实数、复数)的你元线性方程组的解的情况只有三种可能:1)无解、2)有唯一解、3)有无穷多个解。

高斯-约当算法:

graph TD 01["线性方程组的增广矩阵"]-->| 初等行变换|02["阶梯形矩阵"] 02-->03{"是否出现“0=d?”"} 03-->|是|04["原方程无解"] 03-->|否 初等行变换|05["简化行阶梯形矩阵"] 05-->06{"非零行数目=未知量数目?"} 06-->|是|07["原方程有唯一解"] 06-->|否 初等行变换|08["有无穷多个解"]

如果一个线性方程组有解,那么称它是相容的;否则,称它是不相容的。关键词:齐次线性方程组、零解、非零解

2、推论1:n元齐次线性方程组有非零解的充分必要是:它的系数矩阵经过初等行变换化成的阶梯形矩阵中,非零行的数目r

3、推论2:n元齐次线性方程组如果方程的数目s小于未知量的数目n,那么它一定有非零解。

1.3 数域

1、定义:复数集的一个子集K如果满足:
(1) 0,1∈K;
(2) a,b∈K→a±b,ab∈K,
a,b∈K,且b≠0→a/b∈K
那么,称K是一个数域。

2、有理数集Q,实数集R,复数集C都是数域;但整数集Z不是数域,因为Z对于除法不封闭。任何数域都含有有理数域,有理数域是最小的数域,复数域是最大的数域。

3、命题1:任一数域都包含有理数域。

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