线性dp问题（杨老师的照相排列）

题目链接：https://www.acwing.com/problem/content/273/

题目：

有 N个学生合影，站成左端对齐的 k 排，每排分别有 N1,N2,…,Nk 个人。 (N1≥N2≥…≥Nk)

第 1 排站在最后边，第 k 排站在最前边。

学生的身高互不相同，把他们从高到底依次标记为 1,2,…,N。

在合影时要求每一排从左到右身高递减，每一列从后到前身高也递减。

问一共有多少种安排合影位置的方案？

下面的一排三角矩阵给出了当 N=6,k=3,N1=3,N2=2,N3=1时的全部 16 种合影方案。注意身高最高的是 1，最低的是 6。

123 123 124 124 125 125 126 126 134 134 135 135 136 136 145 146
45  46  35  36  34  36  34  35  25  26  24  26  24  25  26  25
6   5   6   5   6   4   5   4   6   5   6   4   5   4   3   3

输入格式

输入包含多组测试数据。

每组数据两行，第一行包含一个整数 k表示总排数。

第二行包含 k个整数，表示从后向前每排的具体人数。

当输入 k=0 的数据时，表示输入终止，且该数据无需处理。

输出格式

每组测试数据输出一个答案，表示不同安排的数量。

每个答案占一行。

数据范围

1≤k≤5,学生总人数不超过 30人。

输入样例：

1
30
5
1 1 1 1 1
3
3 2 1
4
5 3 3 1
5
6 5 4 3 2
2
15 15
0

输出样例：

1
1
16
4158
141892608
9694845

对题目进行分析： 

1.需要发现的一个结论

此题首先需要发现的结论就是序号 x (也就是a + b + c + d + e当前所有人的最大序号)
能放的位置只有每一排中任何一排的最右边。

比如这个x放在了最后一排
则倒数第二排数的个数 至少要比最后一排 少一个

2.状态表示和状态计算 

状态表示： f[a][b][c][d][e]:表示最后一排a个人，倒数第二排b个人，倒数第三排c个人，倒数第四排d个人，倒数第五排e个人情况的满足条件的方案数。

为什么要使用五行来进行状态表示呢？因为题目中范围是最多五行。

状态计算：由前面可知，x(a + b + c + d + e)一定排在任意一排的最右边的位置，并且此排一定比其前面排多1

x在最后一排,
if(a - 1 >= b)成立
f[][][][][] += f[a - 1][b][c][d][e];

x在倒数第二排，
if(b - 1 >= c)成立：
f[][][][][] += f[a][b - 1][c][d][e];

以此类推，x在倒数第三排.....

3.注意事项：

注意事项：

初始化的时候f[0][0][0][0][0] 的结果为1。 代表每一排都是0个的情况有一种。

而其他的f[0][][][][]则为0

所以第一层for可从1开始。

但是f[1][0][][][]是可以存在的，所以第二层for从0开始。

 4.代码实现

# include 
# include 
using namespace std;

const int N = 31;

long long f[N][N][N][N][N];

int k;

int main()
{
    while(~scanf("%d",&k))
    {
        if(k == 0)
        {
            break;
        }
        int s[10] = {0};
        for(int i = 0 ; i < k ; i++)
        {
            scanf("%d",&s[i]);
        }
        memset(f,0,sizeof f);
        f[0][0][0][0][0] = 1;
        for(int a = 0 ; a <= s[0] ; a++)   //或者   for(int a = 1 ; a <= s[0] ; a++) 
        {
            for(int b = 0 ; b <= min(s[1],a); b++)
            {
                for(int c = 0 ; c <= min(s[2],b); c++)
                {
                    for(int d = 0 ; d <= min(s[3] , c); d++)
                    {
                        for(int e = 0 ; e <= min(s[4],d); e++)
                        {
                            if(a &&a - 1 >= b)
                            {
                                f[a][b][c][d][e] += f[a - 1][b][c][d][e];
                            }
                            if(b && b - 1 >= c)
                            {
                                f[a][b][c][d][e] += f[a][b - 1][c][d][e];
                            }
                            if(c && c - 1 >= d)
                            {
                                f[a][b][c][d][e] += f[a][b][c - 1][d][e];
                            }
                            if(d && d - 1 >= e)
                            {
                                f[a][b][c][d][e] += f[a][b][c][d - 1][e];
                            }
                            if(e)
                            {
                                f[a][b][c][d][e] += f[a][b][c][d][e - 1];
                                
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
        printf("%lld\n",f[s[0]][s[1]][s[2]][s[3]][s[4]]);
    }
    return 0;
}