C++实现高精度加法、高精度减法、高精度乘法、高精度减法及思路注释

记录学习过程。

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什么是高精度运算：

我们对一些数值的运算中可能会遇到这样的问题，运算数或者运算结果太大超出了int型甚至long long型的表示范围，这时我们需要手动按数位进行四则混合运算，也就是进行“高精度运算”。

高精度计算的基本步骤：

1. 数据的接收：使用字符串进行需要运算的数据的接收；
2. 数据的存储：获取字符串有效长度将这串数字存入整型数组中，字符串下标高下标（存放低数位）存入整型数组低下标；
3. 数据的处理：按照对应法则进行运算；
4. 数据输出：按照高下标（对应高数位）至低下标（对应低数位）进行输出，除法运算结果不一样，它是从低下标（对应高数位）至高下标（对应低数位）输出。

一、高精度加法：

和小学数学“列竖式”加法的过程相似，将两个数组进行从低位向高位的逐位相加、进位、求和。高精度加法就是在计算机内模拟这个运算过程。

// 高精加模板练习-注释版 自用

#include   // 标准输入输出头文件 
#include   // 字符串头文件
using namespace std;

// 分别将要存放两个加数与结果，将它们定义在全局变量的位置可自动初始化为0 
int a[1001], b[1001], c[1001]; 

int main(){
	// 从控制台获取两个加数的值放进字符串中 
	string s1, s2;
	cin >> s1 >> s2;
	
	// 获取字符串的有效长度（不包括末尾'\0'） 
	int L1 = s1.size();
	int L2 = s2.size();
	
	// 将字符串内容放进整型数组
	// 整型数组低下标存放的是加数低位（对应字符串下标高位），还要将char转换为int 
	for(int i = 0; i < L1; i++) a[i] = s1[L1 - 1 - i] - '0';
	for(int i = 0; i < L2; i++) b[i] = s2[L2 - 1 - i] - '0'; 
	
	// 加法运算
	int L = L1 > L2 ? L1 : L2;  // 获取两加数中最大长度作为循环长度 
	for(int i = 0; i < L; i++){
		c[i] += a[i] + b[i];  // 当前数位值等于之前运算的进位加当前两加数数位的和 
		if(c[i] >= 10){
			c[i + 1] = 1; // 当前数位值大于10表明需要进位，给下一位值进一（最大也只能进一） 
			c[i] %= 10;  // 计算进位之后当前数位值 
		} 
	}
	
	// 判断最后结果的最高位（数组下标最末位）是否发生了进位，如果是则给结果长度加一 
	if(c[L] == 1) L++; 
	
	// 去掉结果前导零
	int k = L--;
	while(c[k] == 0 && k > 0) k--;  // k此时指向数组最后一位下标 
	
	// 输出运算结果，从高位（对应高下标）至低位（对应低下标）输出 
	for(int i = k; i >= 0; i--) cout << c[i];
	
	return 0;
}

二、高精度减法

类似于加法，也是使用模拟列竖式的方法进行运算。需要注意的一点是被减数一定要比减数大，否则要换两数的位置只能求绝对值，如何确定第一个数大于第二个数呢？两数不一样长的话长度长的比短的大，两数一样长的话直接用比较运算符进行比较，程序会按位比较两数 ASCII 码的值，从而得出两数的大小情况。还需要处理的问题是借位问题，不够减的话向高位借1当10。

// 高精减模板练习-注释版 自用

#include   // 输入输出头文件 
#include   // 字符串头文件
using namespace std;

int a[1001], b[1001], c[1001];

int main(){
	// 输入两个数字求差 
	string s1, s2;
	cin >> s1 >> s2;
	
	// size()计算字符串有效长度（不包括'\0'） 
	int L1 = s1.size();
	int L2 = s2.size();
	
	// 第一个数比第二个数小的时候，需要交换两数位置
	// ①第一个数比第二个数长度短 
	// ②第一个数和第二个数一样长，数值比第二个数少（string类型的比较是按位比较ASCII码） 
	if(L1 < L2 || L1 == L2 && s1 < s2){
		string t = s1;
		s1 = s2;
		s2 = t;
		swap(L1, L2);  // s1,s2两个字符串进行交换时，它们对应的长度也要进行交换 
	}
	
	// 字符串放进整型数组中，整型数组中低下标存放的是字符串高下标（数字低位） 
	for(int i = 0; i < L1; i++) a[i] = s1[L1 - 1 - i] - '0';
	for(int i = 0; i < L2; i++) b[i] = s2[L2 - 1 - i] - '0';
	
	// 减法运算 
	for(int i = 0; i < L1; i++){
		if(a[i] < b[i]){  // 如果当前数位不够减，需要发生借位 
			a[i + 1]--;
			c[i] = a[i] + 10 - b[i];
		}else{
			c[i] = a[i] - b[i];
		}
	}
	
	// 去掉结果中的前导零
	int k = L1--;
	while(c[k] == 0 && k > 0) k--; 
	
	// 输出结果
	for(int i = k; i >= 0; i--) cout << c[i]; 
	
	return 0;
} 

三、高精度乘法

同样采用竖式求值，采用for循环嵌套进行两个乘数之间的乘法运算，要记得进位问题。

// 高精乘模板练习-注释版 自用

#include   // 输入输出头文件 
#include   // 字符串头文件 
using namespace std;
// 分别存放两个乘数、积，定义在全局变量的位置可以自动初始化为零 
int a[1001], b[1001], c[1001]; 
int main(){
	// 以字符串形式输入两个乘数 
	string s1, s2;
	cin >> s1 >> s2;
	
	// size()获取两个字符串有效长度
	int L1 = s1.size();
	int L2 = s2.size();
	 
	// 将字符串中数字转入整型数组
	for(int i = 0; i < L1; i++) a[i] = s1[L1 - 1 - i] - '0';
	for(int i = 0; i < L2; i++) b[i] = s2[L2 - 1 - i] - '0';
	
	// 乘法运算
	for(int i = 0; i < L1; i++){
		for(int j = 0; j < L2; j++){
			c[i + j] += a[i] * b[j];  // 当前数位值是之前一次进位加本次乘法操作两加数的积 
			c[i + j + 1] += c[i + j] / 10;  // 当前数值位的下一位，为它本身的值加本次进位的和 
			c[i + j] %= 10;  // 进位操作后的当前数位 
		}
	} 
	
	// 去除结果中的前导零，从高下标（高位）开始遍历 
	int k = L1 + L2;  // 所得结果的最大长度不会超过 L1 + L2 
	while(c[k] == 0 && k > 0) k--;
	
	// 输出结果，从高下标（高位）向低下标（低位）输出 
	for(int i = k; i >= 0; i--) cout << c[i]; 
	
	return 0;
}

四、高精度除法

除法运算采用了按位相除法，需要注意的点是商的长度最大不会超过被除数的长度。每次除法运算过后，当前的余数乘以十加上下一位成为新的被除数继续运算。本程序中只做了关于高精度除以低精度的运算，高精度除以高精度还没来得及写，以后有时间补上（。

// 高精除（高精除以低精）模板练习-注释版 自用

#include 
#include 
using namespace std;
// 分别存放被除数、除数、商，声明在全局变量可使数组初始化为零
int a[1001], b[1001], c[1001];
int main(){
	// 被除数和除数的获取 
	string s;
	int b;
	
	cin >> s;
	cin >> b; 
	
	// 获取被除数长度并放进整型数组中，整型数组低下标（低位）存放字符串高下标（高位）
	int L = s.size();
	for(int i = 0; i < L; i++) a[i] = s[i] - '0';
	
	// 除法运算
	int x = 0;  // 存放上次除法余下来的那个数 
	for(int i = 0; i < L; i++){
		c[i] = (x * 10 + a[i]) / b;  // 当前数位商等于 上次余数乘以十与本位被除数的和 除以除数 
		x = (x * 10 + a[i]) % b;  // 计算当前余数 
	}
	
	// 去除结果前导零，整型数组低下标存放高位，所以从低下标开始遍历去零 
	int k = 0;
	while(c[k] == 0 && k < L) k++;  // 此时k指向没有0的高位 
	
	// 输出结果，因为低下标存放高位，所以从低下标（高位）至高下标（低位）输出，商的长度最长不超过被除数长度 
	for(int i = k; i < L; i++) cout << c [i]; 
	
	return 0;
} 

参考来源：

C++中int、long、long long等数据类型的长度及范围：

int是short int的省略，占内存的2个字节，表示范围：－32768～32767；

long是long int的省略，占内存的4个字节，表示范围：－2147483648～2147483647；

long long 的字符长度是int型的两倍，现在int型一般为32位，所以long long是64位的，能支持的最大数为2^63 -1。

（参考来源：c++中 int, long long, double 等数据类型的长度及范围整理

c++中 int, long long, double 等数据类型的长度及范围整理_还我笑颜-CSDN博客_c++ long long范围）

strlen 是用来计算字符串的长度，遇到第一个NULL('\0')为止，不包括‘\0’。

sizeof 是用来计算变量或者对象、类型所占字节的多少。

（参考来源：strlen和sizeof的区别与总结

strlen和sizeof的区别与总结_follow_blast的博客-CSDN博客_strlen与sizeof）