【蓝桥杯】国奖学长带你复盘第十三届蓝桥杯模拟赛

第十三届蓝桥杯模拟赛第二期python组个人题解

‍ 作者简介：大家好，我是可可卷，在十二届蓝桥杯中侥幸获得国家三等奖。自知实力有限，代码不足之处还请各位大佬多多批评指正~
主攻领域：【python算法】【数据分析】【数学建模】【机器学习】【深度学习】【数据可视化】
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题目1

小蓝的IP地址为 192.168.*.21，其中 * 是一个数字，请问这个数字最大可能是多少 ?

答案：255

题解：计算机网络的内容，IP地址以8位二进制表示一个位，所以范围是【0，2^8-1】，因此最大值为255

题目2

如果一个整数 g 能同时整除整数 A 和 B，则称 g 是 A 和 B 的公约数。例如：43 是 86 和 2021 的公约数。
请问在 1（含） 到 2021（含） 中，有多少个数与 2021 存在大于 1 的公约数。请注意 2021 和 2021 有大于 1 的公约数，因此在计算的时候要算一个。

答案：89

题解：

先给大家二份计算最大公约数的代码：

# 迭代写法
def gcd(a,b):
    while b:
        a,b=b,a%b
    return a
    
# 递归写法
def gcd(a,b):
    if not a%b:return b
    return gcd(b,a%b)

然后计算与 2021 存在大于 1 的公约数的【数】的个数

res = 1
for i in range(1, 2021):
    if gcd(i, 2021) > 1:
        res += 1

print(res)

注意res初值为1，下面这份代码也是等价的

res = 0
for i in range(1, 2022):
    if gcd(i, 2021) > 1:
        res += 1

print(res)

题目3

2021 是一个非常特殊的数，它可以表示成两个非负整数的平方差，2021 = 45 * 45 - 2 * 2。
2025 也是同样特殊的数，它可以表示成 2025 = 45 * 45 - 0 * 0。
请问，在 1 到 2021 中有多少个这样的数？
请注意，有的数有多种表示方法，例如 9 = 3 * 3 - 0 * 0 = 5 * 5 - 4 * 4，在算答案时只算一次。

答案：1516

题解：记住3个点

• 平方差公式：a^2 - b^2 = （a+b)（a-b）

• 确定内层循环范围：b

• 确定外层循环范围：b=a-1时取得最小正数，此时（a+b)（a-b）=（2a-1)，令2a-1=2021,得到a的上限1011

代码：

nums=[0]*2022
for i in range(1,1012):
    for j in range(i):
        tmp=i*i-j*j
        if tmp<=2021:nums[tmp]=1
res=sum(nums)
print(res)

题目4

小蓝要用01串来表达一段文字，这段文字包含 a, b, c, d, e, f 共 6 个字母，每个字母出现的次数依次为：a 出现 10 次，b 出现 20 次，c 出现 3 次，d 出现 4 次，e 出现 18 次，f 出现 50 次。
　小蓝准备分别对每个字母使用确定的01串来表示，不同字母的01串长度可以不相同。
　在表示文字时，将每个字母对应的01串直接连接起来组成最终的01串。为了能够正常还原出文字，小蓝的编码必须是前缀码，即任何一个字符对应的01串都不能是另一个字符对应的01串的前缀。
　例如，以下是一个有效的编码：
　a: 000
　b: 111
　c: 01
　d: 001
　e: 110
　f: 100
　其中 c 的长度为 2，其它字母的编码长度为 3，这种方式表示这段文字需要的总长度为：103+203+32+43+183+503=312。
　上面的编码显然不是最优的，将上面的 f 的编码改为 10，仍然满足条件，但是总长度为 262，要短 50。
　要想编码后的总长度尽量小，应当让出现次数多的字符对应的编码短，出现次数少的字符对应的编码长。
　请问，在最优情况下，编码后的总长度最少是多少？

答案：219

题解：哈夫曼编码，作图如下

按左树为0，右树为1编码：
c: 3 11000
d: 4 11001
a: 10 1101
e: 18 111
b: 20 10
f: 50 0

5*3+5*4+4*10+3*18+2*20+1*50=219

题目5

下面的矩阵中包含 ABCDEF 六种字符，请问出现最多的字符出现了几次？
　FFEEFEAAECFFBDBFBCDA
　DACDEEDCCFFAFADEFBBA
　FDCDDCDBFEFCEDDBFDBE
　EFCAAEECEECDCDECADDC
　DFAEACECFEADCBFECADF
　DFBAAADCFAFFCEADFDDA
　EAFAFFDEFECEDEEEDFBD
　BFDDFFBCFACECEDCAFAF
　EFAFCDBDCCBCCEADADAE
　BAFBACACBFCBABFDAFBE
　FCFDCFBCEDCEAFBCDBDD
　BDEFCAAAACCFFCBBAAEE
　CFEFCFDEEDCACDACECFF
　BAAAFACDBFFAEFFCCCDB
　FADDDBEBCBEEDDECFAFF
　CDEAFBCBBCBAEDFDBEBB
　BBABBFDECBCEFAABCBCF
　FBDBACCFFABEAEBEACBB
　DCBCCFADDCACFDEDECCC
　BFAFCBFECAACAFBCFBAF

答案：78

题解：哈希表，或者用Counter

from collections import Counter
s = "FFEEFEAAECFFBDBFBCDA\
　DACDEEDCCFFAFADEFBBA\
　FDCDDCDBFEFCEDDBFDBE\
　EFCAAEECEECDCDECADDC\
　DFAEACECFEADCBFECADF\
　DFBAAADCFAFFCEADFDDA\
　EAFAFFDEFECEDEEEDFBD\
　BFDDFFBCFACECEDCAFAF\
　EFAFCDBDCCBCCEADADAE\
　BAFBACACBFCBABFDAFBE\
　FCFDCFBCEDCEAFBCDBDD\
　BDEFCAAAACCFFCBBAAEE\
　CFEFCFDEEDCACDACECFF\
　BAAAFACDBFFAEFFCCCDB\
　FADDDBEBCBEEDDECFAFF\
　CDEAFBCBBCBAEDFDBEBB\
　BBABBFDECBCEFAABCBCF\
　FBDBACCFFABEAEBEACBB\
　DCBCCFADDCACFDEDECCC\
　BFAFCBFECAACAFBCFBAF\\"

cnt=Counter(s)
print(cnt.most_common(1))

控制台显示: [('F', 78)]

题目6

小蓝要到店里买铅笔。
铅笔必须一整盒一整盒买，一整盒 12 支，价格 p 元。
小蓝至少要买 t 支铅笔，请问他最少花多少钱？
输入格式
输入一行包含两个整数 p、t，用一个空格分隔。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示答案。
样例输入
5 30
样例输出
15
样例说明
小蓝至少要买3盒才能保证买到30支铅笔，总共花费 15 元。
评测用例规模与约定
对于所有评测用例，1 <= p <= 100，1 <= t <= 10000。

题解：取整

代码：

p, t = map(int, input().split())
n = t // 12
if t % 12 != 0:
    n += 1
print(n * p)

题目7

给定一个三角形的三条边的长度 a, b, c，请问这个三角形是不是一个直角三角形。
输入格式
输入一行包含三个整数 a, b, c，表示三角形三边的长度，相邻整数之间用一个空格分隔。
输出格式
如果是直角三角形，输出“YES”（全大写），否则输出“NO”（全大写）。
样例输入
3 4 5
样例输出
YES
样例输入
4 5 4
样例输出
NO
评测用例规模与约定
对于所有评测用例，1 <= a, b, c <= 1000。

题解：先排序，再判断最短两边a、b与斜边c是否能构成直角三角形

代码：

def check(a, b, c):
    a,b,c=sorted([a,b,c])
    return a * a + b * b == c * c

a, b, c = map(int, input().split())
if check(a, b, c):
    print("YES")
else:
    print("NO")

题目8

n 个小朋友正在做一个游戏，每个人要分享一个自己的小秘密。
每个小朋友都有一个 1 到 n 的编号，编号不重复。
为了让这个游戏更有趣，老师给每个小朋友发了一张卡片，上面有一个 1 到 n 的数字，每个数字正好出现一次。
每个小朋友都将自己的秘密写在纸上，然后根据老师发的卡片上的数字将秘密传递给对应编号的小朋友。如果老师发给自己的数字正好是自己的编号，这个秘密就留在自己手里。
小朋友们拿到其他人的秘密后会记下这个秘密，老师会再指挥所有小朋友将手中的秘密继续传递，仍然根据老师发的卡片上的数字将秘密传递给对应编号的小朋友。
这样不断重复 n 次。
现在，每个小朋友都记下了很多个秘密。
老师现在想找一些小朋友，能说出所有秘密，请问老师最少要找几个小朋友？
输入格式
输入的第一行包含一个整数 n。
第二行包含 n 个整数 a[1], a[2], …, a[n]，相邻的整数间用空格分隔，分别表示编号 1 到 n 的小朋友收到的数字。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示答案。
样例输入
6
2 1 3 5 6 4
样例输出
3
样例说明
最终小朋友 1, 2 互相知道了对方的秘密，小朋友 3 只知道自己的秘密，小朋友 4, 5, 6 互相知道了对方的秘密。
至少要找 3 个小朋友才能说出所有秘密。
评测用例规模与约定
对于 30% 的评测用例，2 <= n <= 30。
对于 60% 的评测用例，2 <= n <= 1000。
对于所有评测用例，2 <= n <= 100000。

题解：构造并查集，判断最终有几个连通分支（可以看下我的并查集板子）

代码：

f={}
def find(x):
    f.setdefault(x,x)
    if x!=f[x]:
        f[x]=find(f[x])
    return f[x]

def union(x,y):
    f[find(x)]=f[find(y)]


n = int(input())
nums = list(map(int, input().split()))
for i,v in enumerate(nums):
    union(i+1,v)

for k in f.keys():
    f[k] = find(f[k])
res=len(set(f.values()))
print(res)

题目9

一个 1 到 n 的排列被称为半递增序列，是指排列中的奇数位置上的值单调递增，偶数位置上的值也单调递增。
例如：(1, 2, 4, 3, 5, 7, 6, 8, 9) 是一个半递增序列，因为它的奇数位置上的值是 1, 4, 5, 6, 9，单调递增，偶数位置上的值是 2, 3, 7, 8，也是单调递增。
请问，1 到 n 的排列中有多少个半递增序列？
输入格式
输入一行包含一个正整数 n。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示答案，答案可能很大，请输出答案除以 1000000007 的余数。
样例输入
5
样例输出
10
样例说明
有以下半递增序列：
　(1, 2, 3, 4, 5)
　(1, 2, 3, 5, 4)
　(1, 2, 4, 3, 5)
　(1, 3, 2, 4, 5)
　(1, 3, 2, 5, 4)
　(1, 4, 2, 5, 3)
　(2, 1, 3, 4, 5)
　(2, 1, 3, 5, 4)
　(2, 1, 4, 3, 5)
　(3, 1, 4, 2, 5)
评测用例规模与约定
对于 50% 的评测用例，2 <= n <= 20。
对于所有评测用例，2 <= n <= 1000。

题解：动态规划，可以类比下杨辉三角

代码：

n = int(input())
k = n // 2
dp = [0] * 1001
mod = 1000000007
for i in range(1, n + 1):
    dp[0] = 1
    dp[i] = 1
    for j in range(i-1,0,-1):
        dp[j]=(dp[j]+dp[j-1])%mod
print(dp[k])

题目10

小蓝住在 LQ 城，今天他要去小乔家玩。
LQ 城可以看成是一个 n 行 m 列的一个方格图。
小蓝家住在第 1 行第 1 列，小乔家住在第 n 行第 m 列。
小蓝可以在方格图内走，他不愿意走到方格图外。
城市中有的地方是风景优美的公园，有的地方是熙熙攘攘的街道。小蓝很喜欢公园，不喜欢街道。他把方格图中的每一格都标注了一个属性，或者是喜欢的公园，标为1，或者是不喜欢的街道标为2。小蓝和小乔住的地方都标为了1。
小蓝每次只能从一个方格走到同一行或同一列的相邻方格。他想找到一条路径，使得不连续走两次标为 2 的街道，请问在此前提下他最少要经过几次街道？
输入格式
输入的第一行包含两个整数 n, m，用一个空格分隔。
接下来 n 行，每行一个长度为 m 第数字串，表示城市的标注。
输出格式
输出一行包含一个整数，表示答案。如果没有满足条件的方案，输出 -1。
样例输入
3 4
1121
1211
2211
样例输出
2
样例输入
3 4
1122
1221
2211
样例输出
-1
样例输入
5 6
112121
122221
221212
211122
111121
样例输出
5
评测用例规模与约定
对于 50% 的评测用例，2 <= n, m <= 20。
对于所有评测用例，2 <= n, m <= 300。

题解：DFS深度优先搜索，但是注意一定要剪枝，不然一定会导致迭代次数过多。关于深搜，可以看下我的DFS板子

代码：

n, m = map(int, input().split())
grid = []
for _ in range(0, n):
    tmp = [int(x) for x in input()]
    grid.append(tmp)

road=[(0,1),(0,-1),(-1,0),(1,0)] # 上下左右
inf=0x3f3f3f    # 无穷大
seen = [[0]*m for _ in range(0, n)]
temp = [[inf]*m for _ in range(0, n)]
res = [inf]     # 不能直接用res=inf记录，可以想想为什么

def dfs(x, y, step, t):
    if x == n - 1 and y == m - 1:
        res[0] = min(res[0],step)
        return

    if step < temp[x][y]:
        temp[x][y] = step
    else:  # 剪枝，非最优路径提前结束搜索
        return

    for dx,dy in road:
        tx,ty=x+dx,y+dy
        if tx in(-1,n) or ty in (-1,m):continue
        if seen[tx][ty]:continue

        if grid[tx][ty] == 2:
            if t == 1:continue  # 剪枝，遇到2次街道
            if step == res[0]:continue  # 剪枝，因为继续搜索得到的路径一定更大
            seen[tx][ty] = 1
            dfs(tx, ty, step + 1, 1)
            seen[tx][ty] = 0
        else:
            seen[tx][ty] = 1
            dfs(tx, ty, step, 0)
            seen[tx][ty] = 0

seen[0][0] = 1
dfs(0, 0, 0, 0)
if res[0] == inf:
    print(-1)
else:
    print(res[0])

经验之谈

• 蓝桥杯与acm等竞赛相比，难度较低，题目多为暴力、思维和搜索，并且有骗分的可能，建议可以多总结下骗分技巧（bushi）。

• 暴力写得好，动态规划再熟悉下，python省一就差不多，搜索和剪枝写得好，python国二也不是梦。

• 起步建议做codeforces的div2的ab题，也可以结合力扣里相应的tag刷熟相应数据结构和算法技巧，如前缀和，并查集等，这里我也总结了一些板子

• 书籍的话不推荐刘汝佳算法竞赛入门经典，可以看看挑战程序竞赛（白书）

• 对于入门者来说，自己看书学可能会有一点点难度，这里推荐acwing，有蓝桥杯历年题可以提交评测，并且拿奖还可以返还学费（国奖全返哦~）