模型预测控制（MPC）（九）：弹簧质量阻尼的MPC仿真

        之前的博客都是讲的理论，现在以一个实际控制例子进行仿真分析。弹簧质量阻尼系统是最典型的二阶系统，本文就用MPC算法来控制弹簧质量阻尼系统。首先建立弹簧质量阻尼系统的模型，然后将连续时间模型转换成离散模型，推倒预测和优化方程，将控制问题转化成标准二次型问题，分别使用解析法和数值法两种优化求解方式，最后用Matlab进行了单位阶跃响应MPC控制仿真。文末给出了仿真源码的地址。

一、弹簧质量阻尼系统

1.1 数学模型

        弹簧质量阻尼系统如下图所示：

图1 弹簧质量阻尼系统

1.1.1 连续状态方程

        系统动力学方程为：

        取状态向量为：，控制量为：，系统输出量为：，则动力学方程可以写为：

        其中，令

        则连续状态方程可以写成如下形式：

1.1.2 离散状态方程

        将连续状态方程转换成离散方程，最简单的就是通过matlab函数c2dm。例如在上述模型中，假设，离散采样时间为，则连续状态方程的矩阵分别为：

         通过c2dm函数得到的离散模型如下：

        也可以手动推导出离散方程。采用前向法，以上状态方程可以写成：

 

        则离散状态方程矩阵为：

         在弹簧质量阻尼系统中，则是：

         将参数代进去计算，与c2dm函数结果基本相同，只有一些微小的数值误差。

二、预测控制

        MPC的基本思路就是将控制问题转化成标准二次型优化问题：

         （这种表示方式来自matlab quadprog函数的help文件）

        理解了这个思想，接下来就剩两个问题：

        1、怎么将控制问题表示成二次型问题？

        2、怎么求解二次型问题？

        关于第2点很容易解决，数值解法和解析解法都有，而且很多开源函数库，专门求解二次型问题。这个专栏里第一到七篇都是讲的如何通过解析解的方式构造并求解MPC控制的优化问题，从第八篇开始，逐渐转到数值解的求法。解析求法推导过程复杂，而且对于有些约束条件情况下无法求解，但是运算量不大，适合部署在小型实时内核中。数值解法优势更明显，可以增加更多约束条件，进行更多状态变量的控制，推导过程也更加清晰，许多开源函数库可以求解二次型优化问题，但是要求硬件平台有一定的计算能力。

2.1 数值法

2.1.1 转化成优化问题

        基于k时刻状态变量对未来个周期内的状态进行预测，结果表示为：

        个未来的控制变量序列表示为：

         这个序列也是需要通过优化求解得到的控制序列。将上述两个序列代入离散模型中得到：

 

         写成矩阵形式：

        其中

 

         预测未来个周期内的状态需要知道个周期的参考输入，参考输入序列为：

 

         定义代价函数为：

 

         代价函数的第一项反映了输入信号与预测的输出信号之间的误差，第二项则是为了限制控制量U，避免控制量太大。其中Q和W都是对角矩阵，，Q控制误差的权值，W是控制量的权值。

        将代价函数化简，并去掉对优化没影响的常数项得到：

        其中，对比一下标准二次型的表达式，可以看出：

 

         至此，就可以调用二次规划求解函数quadprog进行优化求解。

2.1.2 matlab仿真

        控制周期0.01s，仿真时间5s，系统模型参数跟上一节相同，为了简单起见，避免考虑各种矩阵的维度，假设控制时域和预测时域相等，控制量权值，误差量权值，仿真得到的输出量和控制量如下图所示。

图2 数值法MPC阶跃响应输出

图3 解析法MPC控制量

        仿真控制的主循环用时25.26s。

2.2 解析法

        具体推导过程参考专栏的一到七篇，这里只给出结论性公式。

2.2.1 增广模型

        首先将离散模型变换到增广模型：

        分别对应离散模型中的。这里的就表示增广模型的矩阵。这一步可以用matlab实现，源代码在第一篇博客中。

2.2.2 计算

 2.2.3 代价函数

         定义代价函数为：

         代价函数的第一项反映了输入信号与预测的输出信号之间的误差，第二项则是为了限制控制量△U，避免控制量太大。其中是对角矩阵，是控制输出的权值。如果，则说明不用考虑控制变量△U有多大，只考虑控制误差越小越好。如果取值比较大，则表示需要仔细考虑△U的大小。

2.2.4 优化求解

        要求上述代价函数的最小值，最简单粗暴的方法就是求一阶导：

         当J的一阶导为零时，可以求得控制变量的最优解：

         这就是最优的控制量（增量式的）序列，将其改写成：

        这就是最优的控制量，其中包含了个控制序列，只使用这一序列中的第一个变量对系统进行控制，忽略这一序列中的其余变量。当下一可采样周期到来时，使用新观测的状态变量，重复以上优化过程，计算出新的控制变量序列，从而使优化窗口不断向前推进，每一采样时刻都进行实时预测与优化。一个优化控制过程的源代码在第二篇博客中。

2.2.5 matlab仿真

        控制周期0.01s，仿真时间5s，系统模型参数跟上一节相同，控制时域，预测时域，控制量权值，仿真得到的输出量和控制量如下图所示。

 

图4 解析法MPC阶跃响应输出

图5 解析法MPC控制量

         仿真控制的主循环用时0.006s。

 三、总结

1. 上述数值解法优化求解得到的控制量直接用于系统控制，相当于是绝对式控制；而上述解析法求解得到的控制量是控制量的增量，相当于是增量式控制。
2. 两种解法仿真结果相似，都能达到控制要求，但是所需的控制参数不一样，这主要跟绝对式和相对式控制方式的差异有关。
3. 在仿真时长相同的情况下，解析式解法比数值式解法快很多，这也是符合实际的。

四、参考文献

        [1] Liuping Wang. Model Predictive Control System Design and Implementation Using MATLAB.

        源代码包里面包括两种仿真方法的m文件：

 

1. 数值法仿真源码；
2. 解析法仿真源码；

        源码连接如下：

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