matlab练习程序（三阶张量T-QR分解）

转自：http://www.cnblogs.com/tiandsp/archive/2012/10/31/2747971.html 

这里所谓的张量和黎曼那里的张量是不一样的，那个张量更多的用在物理上，这个张量就是矩阵的扩展。比如零阶张量就是数，一阶张量就是向量，二阶张量就是矩阵，三阶四阶就是更高维的数的集合。这个领域现在在数学上还都是很新的东西，矩阵的秩我们都知道怎么求，但是三维的张量或更高维的张量的秩现在在数学上也没有结果。至于张量的奇异值分解也只是也只是用很早的如用HOSVD来处理，我感觉这并不完全合适，新的分解算法就连老美也都没研究出来，从二维到多维的确有很多基础的理论都不适用了，像两个张量相乘这样基础的算法，现在虽然有，但我感觉也不是通用的，还要继续改进。

　　下面就是我看的一篇论文的张量相乘和分解方法，她的理论也可能不正确，不过这种新领域，大家都是在探索。

　　论文在这里：http://www.cs.tufts.edu/tech_reports/reports/2010-5/report.pdf，他主要介绍的是T-svd，T-svd分解后合成的只是原张量的一个近似结果，而T-QR就能得到一个准确的结果，所以我这里用了T-QR。以Matlab角度来看T-SVD和T-QR的代码其实是很类似的。

首先是两个函数的代码，放在.m文件中，文件名就是默认文件名（函数名）

 1   mul.m

function c=mul(a,b)



    [a_n1 a_n2 a_n3]=size(a);

    [b_n1 b_n2 b_n3]=size(b);

    c=zeros(a_n1,b_n2,a_n3);

    A=cell(a_n3,1);

    B=cell(b_n3,1);

    

    for i=1:a_n3

        A{i}=a(:,:,i);

        B{i}=b(:,:,i);

    end



    index_up=zeros(1,a_n3);

    index_down=zeros(1,a_n3);

    for i=1:a_n3    

        index_up(i)=a_n3-i+1;

        index_down(i)=i;

    end

    

    s=cell(a_n3,a_n3);

    for i=1:a_n3

        for j=1:a_n3

            if i==j

                s{i,j}=A{1};

            end       

            if j>i

                s{i,j}=A{index_up(j-i)};

            end       

            if j<i

                s{i,j}=A{index_down(i-j+1)};

            end      

        end   

    end

    

    re=cell(a_n3,1);

    for i=1:a_n3

        re{i}=zeros(a_n1,b_n2);

    end



    for i=1:a_n3

        for j=1:a_n3

            for k=1:1

                re{i,k}=re{i,k}+s{i,j}*B{j,k};

            end

        end    

    end



    for i=1:a_n3

        c(:,:,i)=re{i};        

    end

    

end

2  transpos.m 

function a=transpos(b)    

    [n1 n2 n3]=size(b);

    a=zeros(n2,n1,n3);

    for i=1:n3

        a(:,:,i)=b(:,:,i)';

    end

end

最后是在matlab命令行中的代码：

clear all;

close all;

clc;

n1=3;

n2=3;

n3=3;



A(:,:,1)=[10 23 34;43 55 63;72 85 96];

A(:,:,2)=[24 17 35;52 36 55;81 94 75];

A(:,:,3)=[65 16 52;21 47 78;92 33 43];

%A=imread('s.jpg');



D=fft(A,[],3);



for i=1:n3

    [q r]=qr(D(:,:,i));

    %[u s v]=svd(D(:,:,i));

    Q(:,:,i)=q;

    R(:,:,i)=r;

    %S(:,:,i)=s;

end

Q=ifft(Q,[],3);

R=ifft(R,[],3);

%S=ifft(S,[],3);





B(:,:,1)=eye(n1,n2);

B(:,:,2)=zeros(n1,n2);

B(:,:,3)=zeros(n1,n2);





%c=mul(mul(U,S),transpos(V));

c=mul(Q,R);
c