B站Dr_Can自控课程学习笔记

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经典控制理论:

首先是拉普拉斯变换。
在s域内,就有了传递函数。
为了分析控制系统,就会引入计算零极点,画根轨迹图。
在用频率响应法分析系统的时候,就会引入波特图和奈奎斯特图,波特图和奈奎斯特图用到的是复变函数的理论。
为了设计自动控制系统,就要引入各种校正装置,但背后还是复变的理论支持。
到了离散系统,就要用到采样定理和z变换,此时的传递函数就是脉冲传递函数了。
现代控制理论:
矩阵论,线性代数是最重要的基础,没有它们,就没有状态空间模型。
传统的传递函数只能处理单输入单输出的情况,而且只看输入输出,相较于现代控制理论的状态的视角,其实是丢失了不少信息的。
为了分析线性动态系统,就会引入矩阵指数、状态转移矩阵、状态响应、输出响应。
分析系统稳定性的时候,引入李雅普诺夫分析方法,构造李雅普诺夫函数,用到二次型的知识。
对系统的能控性和能观性的许多分析与判据,都要涉及到矩阵论的知识,比如能控性矩阵满秩说明系统能控。
对于线性反馈系统的综合,就要引入状态反馈,但本质上还是矩阵论的东西,不过是引入怎样的状态反馈,来进行负反馈调节。
模型预测控制(MPC):
离散时间的线性系统,引入许多分析性指标stability, reachability, PBH test。
有限时间最优控制,线性二次型最优控制
用动态规划的思想设计控制器
在状态更新或者观测的时候如果有disturbance,就要引入Kalman Filter的方法。
引入finite horizon 和 infinite horizon的问题,控制器的设计涉及到LQR,然后扩展LQR,可以考虑状态或输入的限制,需要设计权重矩阵,这也是MPC控制器调参的重要内容。
强化学习:
这一部分自己也正在学习中,textbook是看的Dimitri P. Bertsekas的REINFORCEMENT LEARNING AND OPTIMAL CONTROL
想办法做值空间或策略空间近似:MPC就是将J star直接看做零;用神经网络来近似J star,得到的就是深度强化学习;Rollout方法也是试图近似J star得到J tilde。
除此之外,在控制人眼里看来,强化学习中的学习就是解决一个动态规划问题但不用explicit的数学模型。学习到了一个模型,就是系统辨识(System identification)之意。

现代控制理论

1、开环系统和闭环系统
将闭环系统结构进行组合,可以形成等价开环的结构,D即控制器是着重设计的重点,从D出发通过不同的方法,做系统的稳定性分析和误差分析
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2、稳定性分析
由第一节可知开环闭环系统响应如下,给系统输入单位冲击响应就可以判断系统的稳定性,单位冲击响应的拉普拉斯变换是1,所以X(s)=G(s),对系统的稳定性分析变为对系统传递函数的分析。
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传递函数分子为零的点为零点,分母为零的点为极点
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从下图可以看出来,由于极点的正负,可以影响系统的稳定性
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共轭复根的实部是负的,其输出函数为e^(-t)sin⁡(t+∅)。sin⁡(t+∅)和这两个函数相乘会趋于稳定,同理,如果实部为正,会让系统发散,为零则处于临界状态
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总结如下图为:如果极点为实数,落在左半平面稳定(红色),右半平面(蓝色)发散;如果为一对共轭复根,落在左半平面(棕色)一边震荡一边稳定,右半平面(绿色)一边震荡一边收敛;如果只有虚部(黄色),就是震荡的响应
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所以,在设置控制器D的时候,是需要控制器的极点再左半平面,在现代控制理论中,研究的是状态矩阵的特征值,这些特征值实际上就对应着极点
12、PID控制
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微分项对高噪音很敏感

高级控制理论

6、李雅普诺夫稳定性
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非线性采用李雅普诺夫稳定性定理
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举例:
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针对一下非线性的,需要用李雅普诺夫稳定性第二定理
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8、LQR控制器状态空间系统
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控制器u的两个作用:稳定系统、调整平衡点
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9、状态观测器设计
如果系统状态x不可测,可以设计观测器,根据系统输入u和输出y来估计系统的状态
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10、分离理论
下图是上节得到的观测器:
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问题是是否左右的系统都可以观测?
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将观测器和控制器结合在一起,解决比如系统可测可控,但状态量x不可测量
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将系统变为了有两个状态的状态空间方程系统,ex和x
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