B站Dr_Can自控课程学习笔记

学习链接：
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经典控制理论：

首先是拉普拉斯变换。
在s域内，就有了传递函数。
为了分析控制系统，就会引入计算零极点，画根轨迹图。
在用频率响应法分析系统的时候，就会引入波特图和奈奎斯特图，波特图和奈奎斯特图用到的是复变函数的理论。
为了设计自动控制系统，就要引入各种校正装置，但背后还是复变的理论支持。
到了离散系统，就要用到采样定理和z变换，此时的传递函数就是脉冲传递函数了。
现代控制理论：
矩阵论，线性代数是最重要的基础，没有它们，就没有状态空间模型。
传统的传递函数只能处理单输入单输出的情况，而且只看输入输出，相较于现代控制理论的状态的视角，其实是丢失了不少信息的。
为了分析线性动态系统，就会引入矩阵指数、状态转移矩阵、状态响应、输出响应。
分析系统稳定性的时候，引入李雅普诺夫分析方法，构造李雅普诺夫函数，用到二次型的知识。
对系统的能控性和能观性的许多分析与判据，都要涉及到矩阵论的知识，比如能控性矩阵满秩说明系统能控。
对于线性反馈系统的综合，就要引入状态反馈，但本质上还是矩阵论的东西，不过是引入怎样的状态反馈，来进行负反馈调节。
模型预测控制（MPC）：
离散时间的线性系统，引入许多分析性指标stability, reachability, PBH test。
有限时间最优控制，线性二次型最优控制
用动态规划的思想设计控制器
在状态更新或者观测的时候如果有disturbance，就要引入Kalman Filter的方法。
引入finite horizon 和 infinite horizon的问题，控制器的设计涉及到LQR，然后扩展LQR，可以考虑状态或输入的限制，需要设计权重矩阵，这也是MPC控制器调参的重要内容。
强化学习：
这一部分自己也正在学习中，textbook是看的Dimitri P. Bertsekas的REINFORCEMENT LEARNING AND OPTIMAL CONTROL
想办法做值空间或策略空间近似：MPC就是将J star直接看做零；用神经网络来近似J star，得到的就是深度强化学习；Rollout方法也是试图近似J star得到J tilde。
除此之外，在控制人眼里看来，强化学习中的学习就是解决一个动态规划问题但不用explicit的数学模型。学习到了一个模型，就是系统辨识（System identification）之意。

现代控制理论

1、开环系统和闭环系统
将闭环系统结构进行组合，可以形成等价开环的结构，D即控制器是着重设计的重点，从D出发通过不同的方法，做系统的稳定性分析和误差分析

2、稳定性分析
由第一节可知开环闭环系统响应如下，给系统输入单位冲击响应就可以判断系统的稳定性，单位冲击响应的拉普拉斯变换是1，所以X(s)=G(s),对系统的稳定性分析变为对系统传递函数的分析。

传递函数分子为零的点为零点，分母为零的点为极点

从下图可以看出来，由于极点的正负，可以影响系统的稳定性

共轭复根的实部是负的，其输出函数为e^(-t)sin⁡(t+∅)。sin⁡(t+∅)和这两个函数相乘会趋于稳定，同理，如果实部为正，会让系统发散，为零则处于临界状态

总结如下图为：如果极点为实数，落在左半平面稳定（红色），右半平面（蓝色）发散；如果为一对共轭复根，落在左半平面（棕色）一边震荡一边稳定，右半平面（绿色）一边震荡一边收敛；如果只有虚部（黄色），就是震荡的响应

所以，在设置控制器D的时候，是需要控制器的极点再左半平面，在现代控制理论中，研究的是状态矩阵的特征值，这些特征值实际上就对应着极点
12、PID控制

微分项对高噪音很敏感

高级控制理论

6、李雅普诺夫稳定性


非线性采用李雅普诺夫稳定性定理

举例：

针对一下非线性的，需要用李雅普诺夫稳定性第二定理

8、LQR控制器状态空间系统


控制器u的两个作用：稳定系统、调整平衡点



9、状态观测器设计
如果系统状态x不可测，可以设计观测器，根据系统输入u和输出y来估计系统的状态



10、分离理论
下图是上节得到的观测器：

问题是是否左右的系统都可以观测？

将观测器和控制器结合在一起，解决比如系统可测可控，但状态量x不可测量

将系统变为了有两个状态的状态空间方程系统，ex和x