【模拟赛】星际联邦 federation （矩阵树定理，线性代数，循环行列式）

题面

题解

如果我们把这个 $w$ 定义为某一种距离的follow可连的边数，那么就很清楚了：对于所有 $1\le i,j\le n$ ，$i$ 向 $j$ 连有 $w_{i-j+n\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n}$ 条有向边，而每个点向 0 号点连有 1 条有向边。求以 0 为根的内向生成树个数。

直接上矩阵树定理，由于最终求余子式，干脆就忽略 0 号点，那么答案就是
$$\det \left[\begin{array}{ccccc}1+\sum w& -w_1& -w_2& \cdots & -w_n\\ -w_n& 1+\sum w& -w_1& \cdots & -w_{n-1}\\ -w_{n-1}& -w_n& 1+\sum w& \cdots & -w_{n-2}\\ ⋮& ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ -w_1& -w_2& -w_3& \cdots & 1+\sum w\end{array}\right]$$

我们发现这是个循环矩阵。循环矩阵怎么求呢？

题解里用到了一个特殊的范德蒙矩阵 B =
$$\left[\begin{array}{cccc}1& 1& \cdots & 1\\ {\omega }_n^0& {\omega }_n^1& \cdots & {\omega }_n^{n-1}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\omega }_n^0& {\omega }_n^{1(n-1)}& \cdots & {\omega }_n^{(n-1)(n-1)}\end{array}\right]$$

然后若循环矩阵 A =
$$\left[\begin{array}{cccc}{a}_0& a_1& \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}& a_0& \cdots & a_{n-2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_1& a_2& \cdots & a_0\end{array}\right]$$

令函数 $f(x)=$
$$a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+...+a_{n-1}{x}^{n-1}$$

那么把两个矩阵相乘，
$$AB=\left[\begin{array}{cccc}f({\omega }_n^0)& f({\omega }_n^1)& \cdots & f({\omega }_n^{n-1})\\ {\omega }_n^{0}f({\omega }_n^0)& {\omega }_n^{1}f({\omega }_n^1)& \cdots & {\omega }_n^{n-1}f({\omega }_n^{n-1})\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\omega }_n^{0}f({\omega }_n^0)& {\omega }_n^{1(n-1)}f({\omega }_n^1)& \cdots & {\omega }_n^{(n-1)(n-1)}f({\omega }_n^{n-1})\end{array}\right]$$

而这又刚好等于
$$B\cdot \left[\begin{array}{cccc}f({\omega }_n^0)& 0& \cdots & 0\\ 0& f({\omega }_n^1)& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & f({\omega }_n^{n-1})\end{array}\right]$$

于是算行列式
$$\begin{gathered} \det (A)\cdot \det (B)=\det (B)\cdot \prod _{i=0}^{n-1}f({\omega }_n^i) \\ \Rightarrow \det (A)=\prod _{i=0}^{n-1}f({\omega }_n^i) \end{gathered}$$

在取模意义下，单位根可以用原根替代，

最为神奇的是，这道题 n 刚好是 2 的幂。

所以，我们对多项式 $(1+\sum w)-w_{1}x-w_2{x}^2-...-w_n{x}^n$ 进行一次 $NTT$ 正变换，再把每一位乘起来就得出答案。

时间复杂度 $O(n\log n)$ 。

CODE

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define MAXN 1048581
#define LL long long
#define DB double
#define lowbit(x) ((-x) & (x))
#define ENDL putchar('\n')
#define FI first
#define SE second
int xchar() {
    static const int mxn = 1000000;
    static char b[mxn];
    static int pos = 0,len = 0;
    if(pos == len) pos = 0,len = fread(b,1,mxn,stdin);
    if(pos == len) return -1;
    return b[pos ++];
}
//#define getchar() xchar()
LL read() {
    LL f=1,x=0;int s = getchar();
    while(s<'0' || s>'9') {if(s<0)return -1;if(s=='-')f=-f;s=getchar();}
    while(s>='0'&&s<='9') {x = (x<<3)+(x<<1)+(s^48);s = getchar();}
    return f*x;
}
void putpos(LL x) {
    if(!x) return ;
    putpos(x/10); putchar((x%10)^48);
}
void putnum(LL x) {
    if(!x) {putchar('0');return ;}
    if(x<0) putchar('-'),x=-x;
    return putpos(x);
}
void AIput(LL x,int c) {putnum(x);putchar(c);}

const int MOD = 998244353;
int n,m,s,o,k;
int w[MAXN];
int a[MAXN];
int qkpow(int a,int b) {
	int res = 1;
	while(b > 0) {
		if(b & 1) res = res *1ll* a % MOD;
		a = a*1ll*a % MOD; b >>= 1;
	}return res;
}
int xm[MAXN],om,rev[MAXN];
void NTT(int *s,int n) {
	for(int i = 1;i < n;i ++) {
		rev[i] = (rev[i>>1]>>1) | ((i&1) ? (n>>1):0);
		if(rev[i] < i) swap(s[rev[i]],s[i]);
	}
	om = qkpow(3,(MOD-1)/n); xm[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= n;i ++) xm[i] = xm[i-1] *1ll* om % MOD;
	for(int k = 2,t = n>>1;k <= n;k <<= 1,t >>= 1) {
		for(int j = 0;j < n;j += k) {
			for(int i = j,l = 0;i < j+(k>>1);i ++,l += t) {
				int A = s[i],B = s[i+(k>>1)];
				s[i] = (A + B*1ll*xm[l] % MOD) % MOD;
				s[i+(k>>1)] = (A +MOD- B*1ll*xm[l]%MOD) % MOD;
			}
		}
	}return ;
}
int main() {
	freopen("federation.in","r",stdin);
	freopen("federation.out","w",stdout);
	k = read(); n = 1<<k;
	a[0] = 1;
	for(int i = 1;i < n;i ++) {
		w[i] = read();
		(a[0] += w[i]) %= MOD;
		a[i] = (MOD-w[i]) % MOD;
	}
	NTT(a,n);
	int ans = 1;
	for(int i = 0;i < n;i ++) {
		ans = ans *1ll* a[i] % MOD;
	}
	AIput(ans,'\n');
    return 0;
}