第46屆ICPC 東亞洲區域賽（澳門）46届澳门站 C题 计算几何+双指针

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题意

一直角坐标系中，BaoBao在原点位置，平面上有n个发射装置，任意两个发射器之间都有激光束，共(n-1)*n/2条激光，BaoBao的朋友可以去除任何发射器，问最少去除多少发射器，能使BaoBao不会被激光所伤还能从$(0,0)$逃逸到$(10^{10^{10^{10^{10}}}},10^{10^{10^{10^{10}}}})$

tip.发射器不会重合，也不会存在激光束穿过$(0,0)$

思路&解法

首先需要知道计算计算几何的基础知识：极角排序、向量叉积及其意义

可以发现，在枚举一条过原点的直线，直线一侧的发射器都移除时，BaoBao才可以逃逸。但是直线太多，我们怎么处理呢。

如果学过计算几何的旋转卡壳，都能比较快的想到双指针枚举直线

先将所有点对原点极角排序，但是对于angel相同的需要去重加权，然后双指针指向枚举的直线一侧的角度最小的点和角度最大的点，双指针不断滑动表示枚举直线，枚举同时维护ans。

设$p_0$位原点，枚举$p_l$，寻找对应$p_r$，当 $p_0{p}_l$与$p_0{p}_r$的叉积 和 $p_0{p}_l$与$p_0{p}_{r+1}$的叉积 异号，表示$p_l$到$p_r$都是直线一侧的点。

tips.由于坐标达到$|x|,|y|\le 10^9$，所以精度要求就是1e-18（小数点后18位）(大概是这样)，所以储存angel时double的精度是不够的，要用到long double，但是计算过程中大量涉及叉积，坐标用long double计算速度就慢，会T，所以坐标的储存推荐使用long long（格点，且不推荐int，计算叉积过程中会爆int）

Accepted code

#include 
using namespace std;
#define db long double
#define maxn 1000005
#define ll long long
#define Vector point
#define id(x) ((x - 1) % (len - 1) + 1)
const db eps = 1e-18;

int _, n, len = 1;

struct point {
    ll x, y;
    db ag;
    point() {}
    point(ll xx, ll yy) : x(xx), y(yy) { ag = atan2((db)y, (db)x); }
    point operator-(const point &a) { return point(x - a.x, y - a.y); }
    bool operator<(const point &a) const {
        //         return atan2(y, x) < atan2(a.y, a.x);
        return ag < a.ag;
    }
};

point p[maxn], pp[maxn];
int num[maxn];

db Cross(Vector a, Vector b) { return a.x * b.y - a.y * b.x; }
db Dot(Vector a, Vector b) { return a.x * b.x + a.y * b.y; }

point p0(0, 0);
int ans;

bool sgn(db a, db b) { return fabs(a - b) < eps; }

bool sgn(point a, point b) {
    a = a - p0, b = b - p0;
    return fabs(a.ag - b.ag) < eps;
}

bool ck(int l, int r) {
    return Cross(pp[l] - p0, pp[r] - p0) * Cross(pp[l] - p0, pp[id(r + 1)] - p0) < eps 
    	   && !sgn(pp[l], pp[r]) && !sgn(pp[l], pp[id(r + 1)]);
}

int main() {
    for (scanf("%d", &_); _; _--) {
        len = 1;
        scanf("%d", &n);
        ans = n;
        for (int i = 0, x, y; i < n; i++) {
            scanf("%d%d", &x, &y);
            p[i] = point(x, y);
        }
        sort(p, p + n);
        // 去重加权
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (i && sgn(p[i], p[i - 1])) {
                ++num[len - 1];
            } else {
                pp[len] = p[i];
                num[len++] = 1;
            }
        }
        if (len - 1 < 3) {
            printf("0\n");
            continue;
        }
        for (int i = 1; i < len; i++) num[i] += num[i - 1];
        ll r = 1, l = 1;
        for (; r < len; r++)
            if (ck(l, r) || id(r + 1) == id(l)) break;
        while (l < len) {
            for (;; ++r)
                if (ck(id(l), id(r)) || id(r + 1) == id(l)) break;
            if (id(l) <= id(r)) ans = min(ans, min(n - (num[id(r)] - num[id(l) - 1]), num[id(r)] - num[id(l) - 1]));
            else ans = min(ans, min(num[id(r)] + n - num[id(l) - 1], n - (num[id(r)] + n - num[id(l) - 1])));
            ++l;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}