KMP算法原理，谈谈对 “j = next[j]”的理解

为什么要写这篇文章

  最近在学数据结构，这两天刚好学习KMP算法，对于KMP算法的逻辑很好理解，但是却被卡在了代码部分，其实主要是卡在了  j=next[j]  这条语句上，中间翻了很多的资料，费了很长时间，才将这个这条语句搞明白。写下这篇文章，一是记录一下自己的学习成果，二是希望能帮助到有需要的人，因为我找了很多文章和视频，基本上没有将这里讲明白的，正好也补充一下这里的空缺吧(个人认为的空缺)。

什么是KMP算法

  KMP 算法（Knuth-Morris-Pratt 算法）是一个著名的字符串匹配算法，效率很高，因为该算法是由 D.E.Knuth，J.H.Morris 和 V.R.Pratt 共同提出的，所以就叫KMP算法。

 KMP算法核心思想

  KMP 算法其实说白了就是找最长公共前缀子串的问题，啥意思呢，大家看下面的图：

  在这里，指向主串的指针和指向模式串的指针分别指到了【E】和【F】（图片中红色部分）那么如何计算最长公共前缀子串呢？这个主要看上图中绿色部分。

  看上图，上图两个红框里的数据是一样的（都是ABC），而且在图中不能找到比他们更长的数据串来满足要求，这个就是最长公共前缀子串。然后再：

  上图就是KMP算法的核心思想了，因为这篇文章主要要说的是 next数组 ，所以KMP的思想就大致说到这里，如果大家需要更详细的解释，可以找一下其他博主的文章。

令人头大的next数组

  下面这张图是严蔚敏（C语言版）上的关于生成next数组的代码

  其实这段代码前面部分比较容易理解，主要是对第五行代码有疑问

  那么接下来咱们就好好说一下这个 j=next[j] 的问题

详谈 j=next[j]

  “最长前缀公共子串”和主串无关，它完全是模式串的一个属性。 相信这点大家应该都已经了解了，但是用代码来求next数组却成了一个问题。

  继续看这张图，先来说一下标号为 2 的代码，大家可以将这行代码理解成下面这张图，将两个指针 i 和 j 初始化，分别指向图中位置，而将 next[1] 直接赋值 0

  大家不知道是否困惑一点，因为在上文介绍，我们是比较指针前面的绿色部分（K个字符），并不包含指针所指的那个字符，如下图

  但标号为4的代码却是直接比较指针 i 和 j 所指元素的值？其实这里是没有错的，大家看是先比较的值，然后指针加一，最后才是给定next的值。简单的说就是先比较，完了之后再将指针后移并给next数组赋值。不知道这样说大家是否明白，事实上便是如此。这里用到的逻辑是这样的：

  求 next 数组就是求最大公共前缀子串，如上图，假如模式串中某元素（D）对应的 next [i] 刚好为 j ,也就是上图中 j 指针的位置【这里实际上也就只有 j-1 个字符是相匹配(如上图两个绿色部分，可以为零)，不要搞混！】，那么接下来就是解决 i+1 的问题了。这时呢又分两种情况：
 情况一：新的字符 D 和第 j 个字符s[j] 相同，如下图：

  这种情况下，next[i+1] = next[i] + 1，这个比较容易理解，相信大家一看就能想到。

 情况二：新的字符 D 和第 j 个字符s[j] 不相同，如下图：

  很多人看KMP算法就是卡在了这一步上，相信今天看这篇文章的许多人也是冲着这里来的，臭名昭著的回退操作——j = next[j] 就是在这里出现的。
  这时候原来的绿色部分就不能用了，为了满足最长公共前缀子串的要求，我们需要缩小绿色的部分，也就像下面这个样子：

  其中蓝色的格子中的 “?” 表示暂时不知道里面放的字符是什么。而用橙色大括号括起来的两部分(上图中标new的部分)就是我们需要重新对比的部分。
  为什么会这样找呢？由前文假设是s[j]和s[i]两个字符不同，导致匹配失败。这个时候就需要重新找到一个最长公共前缀子串，难道我们还要从头一点点找吗？不可能，绝对不可能！而且也大可不必如此，要是再从头找和BF算法有什么区别呢，增加了时间复杂度，非常不划算。同志们，不要忘了，我们手里可是还有很多底牌呢，怕啥，干就完了！
  现在我们先捋一下手里的牌，对方要求我们提供 next[i+1] ，因为 s[j] 和 s[i] 两个字符不匹配导致我们不能按照第一种情况的常规套路出牌了，但饿死的骆驼比马大，老子手里可还捏着 netx[i] 等一系列的牌呢。next[i] 是啥呢，也就是下面图中 j 的数值，即 next[i]=j 啊

  对于 next[i]=j 这句话说白话就是 对于模式串来说，从第i个字符（不包含第i个字符）向前数 j-1 个字符得到的字串刚好和从模式串开头向后数 j-1 个字符而得到的子串，两个字串是相等的，即上图绿色部分。而 s[j] 和 s[i] 内字符的不同导致我们需要重新匹配，其想法就是在靠近 s[i] 的字符中选择尽可能长的子串来满足KMP算法的条件。
  在这里，我们必须要先明白为什么修整完的绿色部分只会比原来的短，而不可能超过原来的绿色部分，这里简单说明一下，感觉自己已经完全明白的可以跳过这一点继续往下看。下图是我们已经验证的最长公共前缀子串（绿色部分）

  当我们遇到第二种情况时，即s[j] 和 s[i] 内字符不匹配，然后假设现在延申最长公共前缀子串的长度可以满足要求（假设延长m个字符刚好符合要求），如下图：

  看下面这张图片，刚才的已经验证的最长公共前缀子串（绿色部分）被延长了，这和已知是相悖的，所以我们可知最长公共前缀子串是不可能被延长的。

  好了，证明了最长公共前缀子串不可能被延长，而又不会保持不变，那就只能是会缩短了。缩短需要缩短到什么程度呢?一次缩短多少呢？这就和 next 数组有关了。继续拿回这张图：

  最重要的想必大家已经看出来了，就是 new 中绿色部分。而绿色部分就是我们手中的牌啊兄弟们，就是 s[i] 的最长公共前缀子串。
  啥意思呢，看下面这张图(也就是上面那张图的上半部分)，其实我们的任务也就是要在Area1 和 Area2 这两块区域来找 s[i+1] 的最长公共前缀子串。

  又刚好这两块区域的字符串是一模一样的，那么我们只需研究其中一块就好了。那我们就研究Area1，我们将Area1取出，

  大家看，这时的指针 j 还指向图中的紫色部分呢。而next[j]不就是要找 s[j] 的最长公共前缀子串嘛！也就是：

  但是问题由来了，因为我们要的是 s[i+1] 的最长公共前缀子串，所以我们需要保证字符 s[i+1] 前面的元素要和开头的元素完全相匹配，就面临了下面的问题，看图：

  是的，也就是我们只能保证图中绿色部分是相同的，但却不能保证带问号的蓝色方格和 s[i] 是相匹配的，如果不太理解这句话，借助下面的图片或许更能帮到你：

  以上就是 j=next[j] 的作用了，将指针 j 所指的位置移动后，我们需要继续对比 s[i] 和 s[j] 内的字符是否相同，但这是程序又一轮循环了。相同就是情况一，不同又是情况二，一直试到成功或者公共前缀的长度为0时为止。

python代码

  写文章真的好累啊，接下来给大家附上一段python代码，该代码只是为了求 next 数组，所以难免不规范，大家如果需要就自取吧。

# KMP 算法求next[i]的值
nex = [0]
ch = ("ABCABDABCABCM")  # 要求的模式串
i = 1
nex.insert(1, 0)
j = 0
q = [1]
u = [1]
while i < len(ch):
    if j == 0 or ch[i-1] == ch[j-1]:
        i += 1
        j += 1
        q = ch[i - 1]
        nex.insert(i, j)
    else:
        j = nex[j]
    u = ch[j - 1]
print(nex[1:])