余子式、代数余子式、伴随矩阵

余子式

定义

设矩阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$, 将矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij}$ 所在的第行第 $\mathrm{j}$ 列元素划去后, 到余的各元素按原来的排列顾序组成的 $n-1$ 阶 矩脌所确定的行列式称为元古 $a_{ij}$ 的余子式，记为 $M_{ij}$ ，称 $A_{ij}=(-1{)}^{i-j}{M}_{ij}$ 为元㝒 $a_{ij}$ 的代数余子式。
方阵 $A={\left(a_{ij}\right)}_{n\times n}$ 的各元㝒的代数余子式 $A_{ij}$ 所构成的支下矩阵 $A^{\ast }$ :
$$\begin{array}{cccc}{A}_{11}& A_{21}& \cdots & A_{n1}\\ A_{12}& A_{22}& \cdots & A_{n2}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ A_{1n}& A_{2n}& \cdots & A_{nn}\end{array}$$
该矩阵 $A^{\ast }$ 称为矩牢 $A$ 的伴随矩阵

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伴随矩阵的计算实例

例1：求矩阵A的伴随矩阵，其中矩阵A的行列式

$${\mathbf{A}}_{n\ast n}=\left|\begin{array}{ccc}1& 2& -1\\ 3& 1& 0\\ -1& -1& -2\end{array}\right|$$

求解余子式

解：

${\mathbf{A}}_{11}$的余子式：
$${\mathbf{A}}_{11}=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& -2\end{array}\right|$$
${\mathbf{A}}_{11}$代数余子式：
$${\mathbf{A}}_{11}=(-1{)}^{1+1}|1\ast (-2)-0\ast (-1)|=-2$$

剩下的代数余子式：

$$\begin{array}{rl}& A_{11}=-2,A_{12}=6,A_{13}=-2\\ & A_{21}=5,A_{22}=-3,A_{23}=-1\\ & A_{31}=1,A_{12}=-3,A_{13}=-5\end{array}$$

A的伴随矩阵A* ：

$$\left[\begin{array}{ccc}-2& 5& 1\\ 6& -3& -3\\ -2& -1& -5\end{array}\right]$$