【Unity3D】游戏开发数学基础

内容摘取总结自《Unity3D脚本编程与游戏开发》（马遥，沈琰）第四章——游戏开发数学基础
搬运自我的博客：浮生如梦 岁月如歌

三维渲染流程示意图

坐标系

1. 世界坐标系

   全局坐标系是场景内所有物体和方向的基准，也称世界坐标系。在全局坐标系中的原点(0, 0, 0)是所有物体位置的基准，且全局坐标系指定了统一的x轴、y轴和z轴的朝向。

   在Unity场景中，新建一个物体，坐标为(1, 2, 3)。那么它在x轴方向离原点1米，y轴方向离原点2米，z轴方向离原点3米。对于没有父物体的物体（场景中的第一级物体），Inspector窗口中显示的就是该物体在世界坐标系的位置、旋转和缩放比例。

2. 左手坐标系与右手坐标系

   个人记忆：食指x轴，大拇指z轴，中指y轴

   Unity采用左手坐标系，x轴、y轴和z轴分别默认为右、上、前。

1. 熟记Unity坐标系顺序

   熟悉并记住Unity中坐标轴和朝向的对应关系，可以极大提高场景编辑和编写代码的效率。

   右，x轴；上，y轴；前，z轴。

   x轴对应：右，(1, 0, 0)，红色，Vector3.right。

   y轴对应：上，(0, 1, 0)，绿色，Vector3.up。

   z轴对应：前，(0, 0, 1)，蓝色，Vector3.forward。

2. 局部坐标系

   每个物体都有它的局部坐标系，局部坐标系会随着物体进行移动、旋转或缩放，局部坐标系也称本地坐标系。以身高1.8米的人体为例，如果设人的脚底为局部坐标系的原点，那么人的腰部大约位于(0, 1.2, 0)的位置，头顶位于约(0, 1.8, 0)的位置。

   图所示的下方物体是父物体，它的坐标为(1, 2, 0)，上方物体是子物体，相对父物体的局部坐标是(3 ,2 ,0 )。在编辑器中分别选择两个物体，看到的坐标正是(1, 2, 0)和(3, 2, 0)。也就是说，编辑器面板上的坐标数值，全都可以理解为局部坐标系的数值。

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-7hFJDOpS-1650014382216)(https://p.rayhirox.com/i/2022/04/15/qtzu5o.png)]

但是前文提到，对于场景中的第一级物体（没有父物体的物体），编辑器面板显示的是世界坐标系的数值，这里是不是存在矛盾呢？其实并没有问题，因为第一级物体的父节点就是场景本身，而场景的坐标系与世界坐标系是一致的。

图所示的子物体相对父物体的坐标为(3, 2, 0)，而子物体的世界坐标是(4, 4, 0)，即(3+1, 2+2, 0+0)。脚本中获取物体的世界坐标和相对父物体的坐标的方法如下。

using UnityEngine;

public class PositionTest : MonoBehaviour
{
    void Start()
    {
        // 当前物体的世界坐标系位置
        Vector3 worldPos = transform.position;
        Debug.Log("World Pos:" + worldPos);

        // 当前物体相对父物体的位置
        Vector3 localPos = transform.localPosition;
        Debug.Log("Local Pos:" + localPos);
    }
}

• 局部坐标系下的朝向和缩放比例

// 旋转
Quaternion worldRotation = transform.rotation;
Quaternion localRotation = transform.localRotation;
                
// 在父物体局部坐标系下的缩放。无法直接获得世界坐标系的缩放
Vector3 localScale = transform.localScale;

---

// 物体向着世界上方移动一米
        transform.position += Vector3.up;
                
        // 物体向自身的上方移动一米
        transform.Translate(Vector3.up);
        // 上面一句代码等价于下面这句
        transform.position += transform.up;
        
        // 错误的写法会导致计算结果意义不明
        transform.Translate(transform.up);  // !!! 错误的写法

1. 屏幕坐标系

// 鼠标指针位置是屏幕坐标系
Vector2 mousePos = Input.mousePosition;
Debug.Log("鼠标指针在屏幕上的位置：" + mousePos);
                
// 将鼠标指针位置转化为视图坐标系时，需要利用摄像机计算
Vector3 viewPoint = Camera.main.ScreenToViewportPoint(Input.mousePosition);
Debug.Log("鼠标指针位置的视图坐标为：" + viewPoint);

向量

• 向量加法

(x1,y1,z1)+(x2,y2,z2)=(x1+x2,y1+y2,z1+z2)

• 向量减法

(x1,y1,z1)-(x2,y2,z2)=(x1-x2,y1-y2,z1-z2)

• 向量的数乘

k(x,y,z)=(kx,ky,kz)

Vector3 a=new Vector3(2,1,0);
Vector3 na=a/a.magnitude;   //a.magnitude就是a的长度，术语叫作“a的模”
//以上写法等价于：
Vector3 na2=a.normalized;
//还等价于：
Vector3 na3=Vector3.Normalized(a);//向量的标准化
//还等价于：
Vector3 na4=(1/a.magnitude)*a;

• 向量的点积
  (a·b=|a|·|b|cosθ)
  (x1,y1,z1)·(x2,y2,z2)=x1·x2+y1·y2+z1·z2
  以及投影：

Vector3 a=new Vector3(2,1,0);
Vector3 b=new Vector3(3,0,0);
Vector3 dir_b=b.nomalized;          //dir_b是标准化的向量b
float pa=Vector3.dot(a,dir_b);      //pa即是向量a在向量b方向的投影长度

• 向量的叉积

手掌沿第1个向量放平，向第2个向量握拳，拇指的指向即叉积方向。
当向量a与向量b共线（同向或反向）时，叉积为0向量。

Vector3 a=new Vector3(2,1,1);    //a和b是某个平面上的任意两个向量
Vector3 b=new Vector3(3,0,2);
Vector3 n=Vector3.Cross(a,b);    //n是该平面的法线
n=n.nor m alized;                //将n标准化

• Vector3结构体

Vector3的属性

Vector3的方法

Vector3的运算符

• 位置与向量的关联

//这是当前物体的A坐标
Vector3 p1=transform.position;
//这是物体B的坐标
Vector3 p2=gameObjectB.transform.position;
//这是从当前物体A到B的向量
Vector3 diff=p2-p1;
//获得了一个新的坐标C，位于比B远离当前物体A一倍的位置
Vector3 p3=p2+diff;

//从物体C的位置出发，发生从A到B的位移，得到新的坐标
Vector3 p3=gameObjectC.transform.position+diff;
//调整向量的长度为一半

Vector3 diffHalf=diff*0.5f;

• 向量坐标系的转换

可以使用transform.TransformPoint()方法将局部坐标转换为世界坐标，也可以使用transform.InverseTransformPoint()方法将世界坐标转换为局部坐标。transform.TransformDirection()和transform.InverseTransformDirection()方法则用于向量的全局坐标系和局部坐标系之间的转换。两者的差异在于TransformPoint()是转换坐标专用的，TransformDirection()是转换向量专用的。

using UnityEngine;
public class CoordinateLocal:MonoBehaviour{
    void Update(){
    transform.Translate(Vector3.forward*Time.deltaTime);
    }
}//沿自身的z轴

using UnityEngine;
public class CoordinateWorld:MonoBehaviour{
void Update(){
        Vector3 v=transform.InverseTransformDirection(Vector3.forward);
        transform.Translate(v*Time.deltaTime);
    }
}//沿世界坐标系的z轴

矩阵

• 平移矩阵

向量v乘以T(p)，相当于让向量v的x、y、z分量分别变化px、py、pz。

• 旋转矩阵

此矩阵可以让向量沿着x轴旋转θ角。

• 缩放矩阵

缩放矩阵可以对向量的各个分量进行缩放，向量v与S(q)相乘后，v的3个分量分别缩放qx、qy、qz倍。

• 齐次坐标

在3D数学中，齐次坐标就是将原本的三维向量(x, y, z)用四维向量(x, y, z, w)来表示。

引入齐次坐标有如下目的。

更好地区分坐标点和向量。在三维空间中，(x, y, z)既可以表示一个点，也可以表示一个向量。如果采用齐次坐标，则可以使用(x, y, z, 1)代表坐标点，而用(x, y, z, 0)代表向量。在进行一些错误操作时，例如将两个坐标点相加，会立即得到一个错误的结果，避免引起混乱。

四元数

在场景窗口中旋转物体是一项基本操作。可以用旋转工具改变物体角度，也可以在Inspector窗口中改变物体的X、Y、Z值（欧拉角）来改变物体角度。用欧拉角表示角度和旋转，简单又直观。但一般人想不到，物体在三维空间中的旋转并不是一个简单问题，用3个角度表示是远远不够的。

• 万向节锁定

要说明三维物体旋转的复杂性，从“万向节锁定”这一问题入手最有说服力。

虽然可以调整欧拉角到任意角度，但欧拉角的3个轴并不是独立的，x轴、y轴和z轴之间存在嵌套结构，如图4-15所示，这种嵌套结构被称为“万向节”，意思是可以转到任意角度的关节。

当中层轴旋转时，会带动内层的轴跟着旋转。通常三维软件的欧拉角，从外层到内层是按照y轴→x轴→z轴的顺序，也就是说沿x轴的旋转会影响z轴。

Unity引擎内部并没有万向节锁定问题

值得说明的是，Unity内部是用四元数表示物体的旋转，这里并不会真的遇到锁定问题，只是在编辑器界面上模拟了万向节锁定的效果。如果用旋转工具在场景里直接旋转物体，就跳过了编辑窗口的限制，物体仍然可以自由旋转。

• 四元数的概念

四元数包含一个标量分量和一个三维向量分量，四元数Q可以记作

Q=[w,(x,y,z)]

在3D数学中使用单位四元数表示旋转，下面给出四元数的公式定义。对于三维空间中旋转轴为n，旋转角度为a的旋转，如果用四元数表示，则4个分量分别为

w=cos(α/2)

x=sin(α/2 )cos (βx)

y=sin(α/2 )cos (βy)

z=sin( α/2 )cos (βz)

用四元数表示旋转一点也不直观，4个分量w、x、y和z与绕各轴的旋转角度并没有直接的对应关系。在实际游戏开发中不要试图获取和修改某一个分量，应当只做整体处理。

• Quaternion结构体

四元数的属性

四元数的方法和运算符

• 理解和运用四元数

“旋转”有点像前文提到的“向量”，指的是一个旋转的变化量。例如“右转90°”就是一个旋转，如果面朝南，右转90°就是朝西；如果面朝东，右转90°就是朝南。将位置、向量与朝向、旋转类比，可以形成清晰的概念。

前文提到，位置和向量都是用Vector3表示。不出意料，朝向和旋转都是用四元数（Quaternion）表示。理解了Vector3加法的意义，就可以类比出四元数的旋转操作，只是加法变成了乘法。

四元数相乘不满足交换律

注意四元数乘以向量时，必须四元数在前，向量在后。不存在“向量四元数”的操作，代码中写“向量四元数”会报错。

using UnityEngine;

public class QuatTest : MonoBehaviour
{
    void Update()
    {
        float v = Input.GetAxis("Vertical");
        float h = Input.GetAxis("Horizontal");
                
        // 将横向输入转化为左右旋转，将纵向输入转化为俯仰旋转，得到一个很小的旋转四元数
        Quaternion smallRotate = Quaternion.Euler(v, h, 0);
                
        // 将这个小的旋转叠加到当前旋转位置上
        if (Input.GetButton("Fire1"))
        {
                
            //  按住鼠标左键或Ctrl键时，沿世界坐标轴旋转
            transform.rotation = smallRotate * transform.rotation;
        }
        else
        {
            //  不按鼠标左键和Ctrl键时，沿局部坐标轴旋转
            transform.rotation = transform.rotation * smallRotate;
        }
    }
}

• 四元数的插值

四元数有两种插值函数,四元数除了有Slerp方法，也有Lerp方法。由于Lerp方法不是严格的球面插值，因此一般情况下使用Slerp方法。

static Quaternion Slerp(Quaternion a, Quaternion b, float t);

/  前方
Quaternion q = Quaternion.identity;  // identity相当于Eular(0, 0, 0)，不旋转
//  改变物体的朝向，取当前朝向与正前方之间10%的位置
transform.rotation = Quaternion.Slerp(transform.rotation, q, 0.1f);

• 朝向与向量

using UnityEngine;

public class MouseRotation : MonoBehaviour
{
    void Update()
    {
        Ray ray = Camera.main.ScreenPointToRay(Input.mousePosition);
        RaycastHit hit;
        if (Physics.Raycast(ray, out hit))
        {    
            transform.forward = hit.point - transform.position;
        }
    }
}

if (Physics.Raycast(ray, out hit))
{
    // 防止角色低头的代码
    Vector3 v = hit.point - transform.position;
    v.y = transform.y;
    transform.forward = v;
}

//向量转化为四元数（朝向）的方法定义如下
Quaternion Quaternion.LookRotation(Vector3 forward);
Quaternion Quaternion.LookRotation(Vector3 forward, Vector3 up);

实例：第一人称视角的角色控制器

using UnityEngine;

public class FPSCharacter : MonoBehaviour
{
    public float speed = 5f;
        
    void Start()
    {
        // 隐藏鼠标指针
        Cursor.visible = false;
        // 锁定鼠标指针到屏幕中央
        Cursor.lockState = CursorLockMode.Locked;
    }
        
    void Update()
    {
        Move();
        MouseLook();
    }
        
    void Move()
    {
        float x = Input.GetAxis("Horizontal"); // 输入左右
        float z = Input.GetAxis("Vertical");   // 输入前后
                
        // 方向永远平行地面，角色不能走到天上去
        // 获得角色前方向量，将Y轴分量设为0
        Vector3 fwd = transform.forward;
        Vector3 f = new Vector3(fwd.x, 0, fwd.z).normalized;
                
        // 角色的右方向量与右方向的移动直接对应，与抬头无关，可以直接用
        Vector3 r = transform.right;
                
        // 用f和r作向量的基，组合成移动向量
        Vector3 move = f * z + r * x;
                
        // 直接改变玩家位置
        transform.position += move * speed * Time.deltaTime;
    }
        
    void MouseLook()
    {
        float mx = Input.GetAxis("Mouse X");
        float my = -Input.GetAxis("Mouse Y");
                
        Quaternion qx = Quaternion.Euler(0, mx, 0);
        Quaternion qy = Quaternion.Euler(my, 0, 0);
                
        transform.rotation = qx * transform.rotation;
        transform.rotation = transform.rotation * qy;
                
        // angle 是俯仰角度
        float angle = transform.eulerAngles.x;
        // 使用欧拉角时，经常出现-1°和359°混乱等情况，下面对这些情况加以处理
        if (angle > 180) { angle -= 360; }
        if (angle < -180) { angle += 360; }
                
        // 限制抬头、低头角度
        if (angle > 80)
        {
            transform.eulerAngles = new Vector3(80, transform.eulerAngles.y, 0);
        }
        if (angle < -80)
        {
            transform.eulerAngles = new Vector3(-80, transform.eulerAngles.y, 0);
        }
    }
}

Rayhirox于2022-04-08使用Notion整理完毕