【数学建模】—— 层次分析法（AHP）

层次分析法

The analytic hierarchy process (AHP)
建模比赛中最基础的算法之一，主要用于解决评价类的

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解决评价类问题，首先要想到以下三个问题：

1. 我们评价的目标是什么？
2. 我们为了达到这个目标有哪几种可以选择的方案？
3. 评价的标准或者是指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

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判断矩阵

总结：上面这是一个 5 × 5 的矩阵，我们记为 A， 对应的元素为 $a_{ij}$

1. $a_{ij}$表示的意义是，与指标 j 相比， i 的重要程度
2. 当 i = j 时，两个指标相同，因此同等重要记为 1，这就解释了主对角元素为 1
3. $a_{ij}$ > 0 且满足 $a_{ij}$ × $a_{ji}$ = 1(我们称满足这一条件的矩阵为正互反矩阵)

实际上，上面这个矩阵就是层次分析法中的**判断矩阵**

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一致矩阵

矩阵中每个元素$a_{ij}$ > 0且满足$a_{ij}$ × $a_{ji}$ = 1 ，则我们称该矩阵为正互反矩阵。

在层次分析法中，我们构造的判断矩阵均是正互反矩阵。

若正互反矩阵满足$a_{ij}$ × $a_{jk}$ = $a_{ik}$，则我们称其为一致矩阵。

注意：在使用判断矩阵求权重之前，必须对其进行一致性检验

一致性检验

引理：A为n阶方阵，且r(A) = 1,则A有一个特征值tr(A),其余特征值为0

因此，一致矩阵的各行成比例，所以一致矩阵的特征值为1

由引理可知：一致矩阵有一个特征值为n，其余特征值均为0

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若正互反矩阵（判断矩阵）满足$a_{ij}$ × $a_{jk}$ = $a_{ik}$，则我们称其为一致矩阵

引理:n阶正互反矩阵A为一致矩阵时，当且仅当最大特征值${\lambda }_{max}=n$
且当正互反矩阵A非一致时，一定满足${\lambda }_{max}>n$

判断矩阵越不一致时，最大特征值和n相差越大

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一致性检验的步骤

第一步：计算一致性指标CI

$CI=\frac{{\lambda }_{max}-n}{n-1}$

第二步：查找对应的平均随机一致性指标RI

第三步：计算一致性比例CR

$CR=\frac{CI}{RI}$

如果 CR < 0.1 ,则可认为判断矩阵的一致性可以接受；否则需要对矩阵进行修正

**几个小问题**

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方法1：算术平均法求权重

第一步：将判断矩阵按照列归一化（每一个元素除以其所在的列）

第二步：将归一化的各列相加（按行求和）

第三步：将相加后得到的向量中每一个元素除以n即可得到权重向量

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几何平均法求权重

第一步：将A的元素按照行相乘得到一个新的列向量

第二步：将新的向量的每个分量开n次方

第三步：对该列向量进一步归一化即可得到权重向量

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层次分析法

层次分析法（The Analytic Hierarchy Process即 AHP)是由美国运筹学家、 匹兹堡大学教授T . L. Saaty于20世纪70年代创立的一种系统分析与决策的综合 评价方法，是在充分研究了人类思维过程的基础上提出来的，它较合理地解 决了定性问题定量化的处理过程。

AHP的主要特点是通过建立递阶层次结构，把人类的判断转化到若干因 素两两之间重要度的比较上，从而把难于量化的定性判断转化为可操作的重 要度的比较上面。在许多情况下，决策者可以直接使用AHP进行决策，极大 地提高了决策的有效性、可靠性和可行性，但其本质是一种思维方式，它把 复杂问题分解成多个组成因素，又将这些因素按支配关系分别形成递阶层次 结构，通过两两比较的方法确定决策方案相对重要度的总排序。整个过程体 现了人类决策思维的基本特征，即分解、判断、综合，克服了其他方法回避 决策者主观判断的

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决评价类问题，大家首先要想到以下三个问题：
①我们评价的目标是什么
②我们为了达到这个目标有哪几种可选的方案？
③价的准则或者说指标是什么？（我们根据什么东西来评价好坏）

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层次分析法第一步

分析系统中各因素之间的关系，建立系统的递阶层次结构.

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层次分析法第二步

对于同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要 性进行两两比较，构造两两比较矩阵（判断矩阵）

构造判断矩阵

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层次分析法第三步

由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重， 并进行一致性检验（检验通过权重才能用）。

三种方法计算权重

1. 算术平均法
2. 几何平均法
3. 特征值法

强烈建议大家在比赛时三种方法都使用

以往的论文利用层次分析法解决实际问题时，都是采用其中某一种方法 求权重，而不同的计算方法可能会导致结果有所偏差。为了保证结果的 稳健性，本文采用了三种方法分别求出了权重后计算平均值，再根据得 到的权重矩阵计算各方案的得分，并进行排序和综合分析，这样避免了 采用单一方法所产生的偏差，得出的结论将更全面、更有效

注：（1）一致矩阵不需要进行一致性检验，只有非一致矩阵的判断矩阵才需要进 行一致性检验；（2）在论文写作中，应该先进行一致性检验，通过检验后再计算 权重，视频中讲解的只是为了顺应计算过程。

层次分析法第四步

根据权重矩阵计算得分，并进行排序。

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层次分析法的一些局限性

(1)评价的决策层不能太多，太多的话n会很大，判断矩阵和一致矩阵差异 可能会很大。

(2)如果决策层中指标的数据是已知的，那么我们如何利用这些数据来使得 评价的更加准确呢？