基于MATLAB的求解线性方程组(附完整代码和例题)

目录

前言

一. 直接求解:矩阵除法

例题1

 例题2

例题3

二. 直接求解:判断求解

2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

2.2 rank(A)=rank(C)=r<>

例题5

2.3 

三. 矩阵求逆解线性方程组

例题 6


前言

线性方程组的直接解法方法很多,包括Gauss消去法选主元消去法平方根法追赶法等等。但是在MATLAB中,可以直接利用“\”或者“/”来解决问题。这两种方法的内部包含非常多的自适应算法,比如对超定方程使用最小二乘法;对欠定方程给出误差范数最小的一个解;对三对角阵方程组使用追赶法

一. 直接求解:矩阵除法

对线性方程A*X=B求解,MATLAB调用格式如下:

x=A\B

调用此函数时,矩阵A、B必须具有相同的行数。如果矩阵A没有正确缩放或者接近奇异矩阵,运行代码时,MATLAB就会显示警告信息。

对矩阵A可以分成如下三种情况:

  • 如果A是标量,那么A\B就等同于A.\B
  • 如果A是n\times n方阵,B是n行矩阵,那么A\B就是方程A*X=B的解
  • 如果A是m\times n矩阵,而且m\neq n,B是m行矩阵,那么A\B返回方程组A*X=B的最小二乘解

例题1

解如下方程:

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=[0.4096 0.1234 0.3678 0.2943;0.2246 0.3872 0.4015 0.1129;
    0.3645 0.1920 0.3781 0.0643;0.1784 0.4002 0.2786 0.3927];
b=[0.4043;0.1150;0.4240;-0.2557];
x=A\b;
x' %将结果输出为行向量

 运行结果:
ans =

   0.332683779325239  -1.412140862756104   1.602847655449206  -0.500293786006566

 例题2

A为4阶的幻方矩阵,求解线性方程组Ax=b。b的表达式如下:

b=\begin{bmatrix}34\\34\\34\\34 \end{}

备注:幻方矩阵的定义:如果一个数组具有相同行列且每行,每列和对角线上的和都一样,则成这些数组则成为魔方矩阵,又叫幻方矩阵。

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=magic(4); %生成四阶的幻方矩阵
b=[34;34;34;34];
x=A\b;
x'

运行结果:

ans =

   0.980392156862745   0.941176470588235   1.058823529411765   1.019607843137255
分析:

4阶的幻方矩阵是奇异矩阵,奇异矩阵也能求解,但是MATLAB会生成警告,警告信息如下:

警告: 矩阵接近奇异值,或者缩放错误。结果可能不准确。RCOND =  4.625929e-18。 

例题3

对线性方程组Ax=b进行求解,并分析是否有误差。A,b矩阵如下:

A=\begin{bmatrix}1&2&0\\0&4&3 \end{}b=\begin{bmatrix}8\\18 \end{}

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=[1 2 0;0 4 3];
b=[8;18];
x=A\b

E=norm(b-A*x) %求范数误差

运行结果:

x =

                   0
   3.999999999999997
   0.666666666666670


E =

     7.160723346098895e-15

分析:此方程属于欠定方程,MATLAB采用最小二乘法进行求解,所以会出现误差

另外最后举一个利用稀疏矩阵对简单线性方程组Ax=B进行求解。

MATLAB代码:

clc;clear;
A=sparse([0 2 0 1 0;4 -1 -1 0 0;0 0 0 3 -6;-2 0 0 0 2;0 0 4 2 0]);%稀疏矩阵
B=sparse([8;-1;-18;8;20]); %稀疏矩阵
x=A\B

E1=norm(B-A*x) %范数误差

运行结果:

x =

   (1,1)      1.000000000000000
   (2,1)      2.000000000000000
   (3,1)      3.000000000000000
   (4,1)      4.000000000000001
   (5,1)      5.000000000000001

E1 =

     4.189529226675416e-15

二. 直接求解:判断求解

给定矩阵A,B如下:

基于MATLAB的求解线性方程组(附完整代码和例题)_第1张图片

形成解的判定矩阵C如下:

C=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}&b_{11}&b_{12}&\cdots&b_{1p}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}&b_{21}&b_{22}&\cdots&b_{2p}\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}&b_{m1}&b_{m2}&\cdots&b_{mp} \end{}

线性方程组有解的判断定理将分成三种情况:


2.1 m=n且rank(A)=rank(C)=n

此时,方程组有唯一的解 x=A^{-1}B

例题4

求解如下方程组:

\begin{bmatrix}1&2&3&4\\ 4&3&2&1\\ 1&3&2&4\\ 4&1&3&2 \end{}X=\begin{bmatrix}5&1\\4&2\\3&3\\2&4 \end{}

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=[1 2 3 4;4 3 2 1;1 3 2 4;4 1 3 2];
B=[5 1;4 2;3 3;2 4];
C=[A B];

%判定前提条件
rank_A=rank(A)
rank_C=rank(C)

%求解
x1=inv(A)*B

%计算范数误差
E1=norm(A*x1-B)

%计算精确解
x2=inv(sym(A))*B

%计算范数误差
E2=norm(A*x2-B)

运行结果:

rank_A =4
rank_C = 4


x1 =

  -1.800000000000000   2.399999999999999
   1.866666666666666  -1.266666666666667
   3.866666666666667  -3.266666666666667
  -2.133333333333333   2.733333333333333


E1 =7.291088482824584e-15

 
x2 =
[   -9/5,   12/5]
[  28/15, -19/15]
[  58/15, -49/15]
[ -32/15,  41/15]
 
E2 =0

2.2 rank(A)=rank(C)=r

此时方程组有无穷多个解。将原方程组可以转化为对应的齐次方程组的解,形式如下:

\hat x=\alpha_1x_1+\alpha_2x_2+\ldots+\alpha_{n-r}x_{n-r},\quad \alpha_i,i=1,2,\cdots,n-r

此时需要求取A矩阵的化零矩阵,MATLAB格式如下:

Z=null(A)

 或者求取A矩阵的化零矩阵的规范形式,MATLAB格式如下:

Z=null(A,'r')

例题5

求解以下方程组:


\begin{bmatrix}1&2&3&4\\ 2&2&1&1\\ 2&4&6&8\\ 4&4&2&2 \end{}X=\begin{bmatrix}1\\3\\2\\6 \end{}

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=[1 2 3 4;2 2 1 1;2 4 6 8;4 4 2 2];
B=[1;3;2;6];
C=[A B];

%判断可解性
rank=[rank(A),rank(C)]

%求解出规范化的化零空间
Z=null(sym(A))

%求特解
x0=sym(pinv(A)*B)

%验证得出的解
a1=randn(1);
a2=rand(1); %a1和a2是不同分布的随机数
x1=a1*Z(:,1)+a2*Z(:,2)+x0;
E=norm(double(A*x1-B))

%将通解表示出来
syms a3 a4;
x2=a3*Z(:,1)+a4*Z(:,2)+x0

运行结果:

rank = 2     2

 分析:说明有解,且解不止一个


Z =
[    2,    3]
[ -5/2, -7/2]
[    1,    0]
[    0,    1]
 分析:此结果可以解释为,如下等式:

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{}=\begin{bmatrix}2&3\\-2.5&-3.5\\1&0\\0&1 \end{}\begin{bmatrix}x_3\\x_4 \end{}
 
x0 =
 125/131
  96/131
 -10/131
 -39/131
 

E =0

 分析:此方法求出的结果没有误差


x2 =
 
        2*a3 + 3*a4 + 125/131
 96/131 - (7*a4)/2 - (5*a3)/2
                  a3 - 10/131
                  a4 - 39/131

分析:此结果可以写成通式如下:

\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4 \end{}=a_3\begin{bmatrix}2\\-2.5\\1\\0 \end{}+a_4\begin{bmatrix}3\\-3.5\\0\\1 \end{}+\begin{bmatrix}0.9542\\0.7328\\-0.0763\\-0.2977 \end{}

2.3 rank(A)\leq rank(C)

此时只能采用摩尔-彭罗斯(Moore-Penrose)广义逆求解出其最小二乘法,MATLAB格式如下:

x=pinv(A)*B

这种方法只能使误差范数测度||Ax-B||取的最小值,并不能完全符合原始的代数方程。

三. 矩阵求逆解线性方程组

通过反转系数矩阵A,也可以实现对线性方程组Ax=b的求解。不幸的是,与之前反斜杠计算的方法相比,此方法的运算速度会更慢,残差也相对较大。但其实,它也有它的优点,我们来看一道例题。

例题 6

利用八阶的幻方矩阵,来比较MATLAB中x1=A\b和x2=pinv(A)*b两种求解方法的精确度。

解:

MATLAB代码如下:

clc;clear;
A=magic(8);
A1=A(:,1:6); %行数全取,列数保留1~6列,具体原因见"分析"
rank_A1=rank(A1)
b=260*ones(8,1); %260是原A矩阵的幻数和

%使用反斜杠法求解
x1=A1\b
norm_x1=norm(x1)
E1=norm(A1*x1-b)

%使用pinv()函数求解
x2=pinv(A1)*b
norm_x2=norm(x2)
E2=norm(A1*x2-b)

运行结果:

rank_A1 =3

警告: 秩亏,秩 = 3,tol =  1.882938e-13。 
(由于A1矩阵非方阵,所以运算秩时矩阵出现警告,与矩阵秩相关的介绍可以看以下文章)

基于MATLAB的矩阵性质:行列式,秩,迹,范数,特征多项式与矩阵多项式_唠嗑!的博客-CSDN博客

x1 =

   2.999999999999998
   4.000000000000000
                   0
                   0
   1.000000000000002
                   0


norm_x1 = 5.099019513592784
E1 = 1.392373714442771e-13


x2 =

   1.153846153846151
   1.461538461538463
   1.384615384615385
   1.384615384615383
   1.461538461538461
   1.153846153846153


norm_x2 =3.281650616569467
E2 =4.019436694230464e-13

分析:

(1)将A矩阵转换为A1,因为当只有六列时,方程仍然是一致的,依旧存在解,而且解并非全由1组成。另外,由于矩阵低秩,所以会有无数个解。

(2)根据范数误差计算的结果,两种求解方法精度一致

(3)解x1的特殊之处在于它只有三个非零元素;解x2的特殊之处在于它的norm(x2)非常小

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